рапках. Здається кілька різних значень в інтервалі. p> Для стійкості лінійної системи-ого порядку необхідно і достатньо, щоб зміна аргументу функції при зміні дорівнювало, тобто
при (3.2.6)
Іншими словами, для стійкості лінійної системи-ого порядку необхідно і достатньо, щоб годограф Михайлова пройшов у позитивному напрямку (проти годинникової стрілки) послідовно квадрантів, ніде не звертаючись в нуль.
Розглянемо визначення меж стійкості на основі критерію Михайлова. Очевидно, що два типи кордонів стійкості, наведені вище, можна об'єднати одним рівністю
, (3.2.7)
де - корінь характеристичного рівняння 0, звідки отримуємо, що
0 і 0 (3.2.8)
Графічно це означає, що одна точка кривої Михайлова повинна пройти через початок координат (ріс.3.2.2).
Фізично сенс величини - частота коливань системи на межі стійкості. На кордоні стійкості системи всі інші корені, крім повинні лежати зліва від уявної осі. Тому, крім умови (3.2.8) потрібно, щоб годограф Михайлова проходила всі інші квадранти, крім пропущеного (через проходження через початок координат. p> Аналітично це означає, що на додаток до равенствам
(3.2.8) має задовольнятися критерій стійкості для наступного многочлена:
(3.2.9)
в якому виключена пара чисто уявних коренів; у разі нульового кореня:
(3.2.10)
Умова (3.2.10) необхідно перевіряти тільки за, тому що в іншому випадку воно переходить просто в позитивність коефіцієнтів характеристичного многочлена.
Вираз (3.2.8) використовується для побудови областей стійкості системи на площині будь-яких параметрів А і В (наприклад, залежність коефіцієнта посилення розімкнутої ланцюга від постійної часу). Тоді, вираз (3.2.8) запишеться у вигляді:
і. (3.2.11)
Параметри А і В повинні входити в коефіцієнти виразу (3.2.11). Таким чином, вираз (3.2.11) являють собою рівняння кордонів стійкості, зображуваних у вигляді деяких кривих на площині параметрів А, В. Визначимо кордон стійкості і стійкість досліджуваної (аналізованої системи) за допомогою критерію Михайлова:
Г? Складемо характеристичний поліном замкнутої системи:
В
Г?Найдем за формулою (3.2.2):
В
Тоді, отримаємо:
В
Г?Представім вираження у вигляді
В
Тоді,
,
В
Г? Тоді, згідно з умовою (3.2.11) для межі стійкості отримаємо:
і
= 0
Введемо наступні позначення:
,.
Тоді, отримаємо систему рівнянь:
В
Тоді, отримаємо, що
(3.2.12)
Підставляючи в перше рівняння системи корінь 0 отримуємо, що 0; а другий корінь
дає. (3.2.13)
...
