2.2 Безперервність області дійсних чисел або неявне поняття точної верхньої межі
Визначивши на дійсних числах - відношення "більше-менше", тепер ми можемо стверджувати, що отримана система, як пише Дедекінд, "утворює правильно розподілену область одного виміру". Під цими словами автор має на увазі наступне:
В
Доказ випливає безпосередньо з визначень попередніх параграфів.
Дедекінд пише: "Крім цих властивостей [три властивості з визначення правильно розподіленої області одного виміру] область володіє ще безперервністю, тобто має місце таке припущення:
В
На цьому місці варто зупинитися докладніше. Сам Дедекін неодноразово в своїй статті відзначав, що суворого поняття безперервності йому ще не було відомо, і це діда подальший розвиток аналізу так званими міркуваннями "на пальцях". По суті, у пункті IV дано визначення точної верхньої (і одночасно нижньої) грані, і за аксіому взятий той факт, що верхня (або нижня) грань єдина. У тому курсі аналізу, який читається зараз, це твердження доводять, виходячи, правда, з іншого, як мені здається, більш наочного визначення точної верхньої межі. Тут же звичайне визначення неявно присутній, але про те, що ірраціональні числа можуть бути отримані як межа або супремум обмеженою послідовності раціональних, чітко ніде не написано. p> Ця, з моєї точки зору, основна думка статті Дедекинда, однак, не була так легко сформульована на початку статті через відсутність усталеної аксіоматики в той час. Як строго пояснити початку аналізу і створити чітку теорію дійсних чисел, пропонували багато: і Вейерштрасс, і Гейне, і Кантор, і Ш. Мері. Але сам Дедекінд відзначає, що в 1874 році до нього в руки потрапила стаття Гейне, в якій пояснювалася точка зору автора на теорію дійсних чисел. Однак, визнавши виклад у статті більш складним, ніж своє власне, Дедекінд друкує розглядається тут міркування про перетинах. p> Варто зазначити, однак, що в разі безперервності виклад Дедекинда просто і легко доводиться. Наведу доказ без змін:
В
2.3 Обчислення з речовими числами
Набагато складніше йде справа з правилами обчислення для дійсних чисел. Щоб задати обчислення з числами, тобто, звести їх до обчислень з раціональними, треба визначити перерізу, відповідні даними обчислень. Розглянемо на прикладі найпростішої арифметичної операції - додавання. p> Якщо з є яке-небудь раціональне число, то ти віднесемо його до класу, якщо існують два числа з і з, такі, що. Всі інші числа віднесемо до класу. Це підрозділ всіх раціональних чисел на два класи утворює перетин (,). Сумою двох чисел і, що породили відповідно розбиття і, назвемо число, що породило розбиття (,). Аналогічно визначаються додавання, множення і ділення. p> Таким чином Дедекінд прийшов до того дійсному доведення теорем та рівностей, таких як, наприклад,, які раніше, на його думку, строго довести не були.
Доказ різних а...
