і бити визначені за допомогою раціональних, як пише Дедекінд. По суті, система R від прямої L відрізняється "дірками", тобто, R не безперервна. Нам же треба чітко визначити, що таке безперервність. Для цього зауважимо, що кожна точка р прямої L виробляє розбиття цієї прямої на два безлічі: ліворуч і праворуч від точки p. Також, очевидно, якщо всі точки прямої розпадаються на два класи такого роду, то існує єдина точка p, їх розділяє. Дедекінд НЕ доводить цей принцип і стверджує, що ніхто його довести не в змозі, тому єдиний вихід - прийняти його досить ясним і використовувати. Також відзначимо, що, в принципі, точка p задає два перетину Дедекинда: залежно від того, куди входить сама точка, - але ми не будемо їх відрізняти, і назвемо неістотно різними. Переконаємося, що існує нескінченна безліч перетинів, які не можуть бути зроблені раціональним числом. Нехай D - позитивне ціле число, але не квадрат іншого цілого, тоді існує таке число, що
В
В якості класу візьмемо всі позитивні раціональні числа, такі, що їх квадрат більше D, в якості, очевидно, будуть всі негативні раціональні і позитивні раціональні числа, такі, що їх квадрат менше D. Це перетин не проводиться, очевидно, ніяким раціональним числом. Дозволю собі не приводити доказ цього факту, що відноситься до елементарних міркувань теорії чисел. p> Таким чином виходить, що в класі немає найменшого числа (мова про раціональних), а в - найбільшого. У тому властивості, що не всі перерізу виробляються раціональними числах, і є "неповнота" і розривність цій області (у цій статті ми слідом за Дедекіндом дозволяємо собі називати областю безліч раціональних чисел). Всякий раз, коли нам дано розтин, яке не може бути породжене раціональним числом, ми створюємо нове ірраціональне число. Істотно різні перетини ми визначаємо по тому, чи є в них різні елементи, тобто такі, які для одного перерізу належать до першого класу (де числа "менше"), а для іншого - до другого. Однак це ще не точне визначення: якщо таке число єдино, воно автоматично є найбільшим в першому класі одного перерізу і найменшим у другому класі іншого. У цьому випадку, як ми вже визначали, перерізу неістотно різні. Таким чином, істотно різними перетинами назвемо ті, в яких є як мінімум два різних елементи у невідповідних класах. Завдяки тому, що істотно різним перетинах відповідають різні числа у випадку раціональних, у разі ірраціональних ми може припустити те ж за визначенням. Якщо відволіктися від термінології Дедекинда і, придивившись, побачити в таких перетинах сенс Супремум або інфімум - точної верхньої та нижньої граней відповідно, - можна зробити висновок, що наше припущення виправдано і правдоподібно. З двох різних ірраціональних чисел тими ж очевидними міркуваннями за допомогою перетинів одне завжди виявляється більше, а інше менше. Тут треба відзначити, що різні раціональні числа спочатку в нас визначалися по-іншому (через поняття різниці, яка повинна була бути більше або менше нуля). br/>...
