рифметичний властивостей, вірних для раціональний чисел, також необхідно перенести на випадок всіх речових. Наприклад, найпростіше рівність викликає побоювання, що для його докази у разі будь-яких дійсних чисел доведеться робити масу відступів (наприклад, визначати різні інтервали між речовими числами) і проводити операції з різного роду складними структурами. Однак, це не зовсім так. Дедекінд в якості вирішення подібної проблеми стверджує, що безперервністю володіють самі операції, і призводить це у формі загальної теореми, яку я дозволю собі процитувати: В
2.4Аналіз нескінченно малих або "про змінних величинах, про функції, про межах"
З наведеної в попередньому пункті цитати видно, що мова меж і функцій в цілому більш зручний, ніж запропонований Дедекіндом мову перетинів. У наступному розділі математик доводить основні визначення та теореми з теорії меж, грунтуючись на побудованій теорії. Давши знайоме нам визначення межі, Дедекінд доводить наступне твердження: "Якщо величина х зростає постійно, але не понад всякі кордонів, то вона прагне до деякого межі". Нам це відомо як теорема про збіжність монотонної обмеженої послідовності. p> Також, у статті наведено пояснення твердження, яке в аналізі читається як еквівалентність визначень за Коші і по Гейне. Ось воно:
В
На цьому автор зупиняється.
З моєї точки зору, апарат меж, функцій і точних граней кілька зручніше для практичних цілей, ніж теорія перерізів Дедекинда. Можливо, тому в сучасній математиці ним користуються. Однак можна з упевненістю сказати, що людині, що звикла до певної усталеної точки зору, нелегко судити об'єктивно. Безсумнівно, внесок Дедекинда у розвиток математики великий, і було б верхом нечемність намагатися його применшити. br/>
3. Подальший розвиток теорії
У цьому розділі я наведу не своє думку щодо того, як саме винахід німецького вченого вплинуло на хід математичних міркувань у світі, а скоріше коротко повторю думку перекладача, професора С.О. Шатуновського, завдяки якому у мене була можливість читати статтю по-російськи. p align="justify"> Шатуновский відзначає, що, хоча це і не позначено у статті явно, теорія раціональних чисел будується на знаках, під якими маються на увазі певні смисли, що відображають поняття числа. Говорячи лінгвістичним мовою, в кожен конкретний знак або символ ми можемо вкласти будь денотативного значення. У той момент, коли з'являються нові смисли, розширюється і система знаків. Так, коли стало недостатньо натуральних чисел і знадобилося вкласти нову властивість в числову систему - розтягнутість в обидві сторони - придумали позначати негативні числа знаком мінус перед знаком числа. Нові символи ввели для позначення дробів, і так далі. p align="justify"> Якщо сформулювати цю ідею в більш загальному вигляді, розширюючи ту чи іншу систему, ми "заповнює порожні місця". Всякий раз, коли з'являються нові властивості, їх до...
