то функція Дійсно є абсолютно неперервно на і, отже, має почти всюди скінченну похідну, яка задовольняє (у тихий точках, де вона існує) нерівності
В
Достатність
Нехай - абсолютно неперервно функція и почти всюди Покажемо, что в такому разі Дійсно, так як абсолютно неперервно, то вона є неозначенім інтегралом від своєї похідної І, отже, при всех и таких, что отрімаємо
В
А це и означає, что, тоб
Означення 2.
Кажуть, что неперервно функція задовольняє умові Діні-Ліпшіця, ЯКЩО
при (2)
Легко Бачити, что ЯКЩО при будь-якому, то
, тоб будь-яка функція, что належати будь-якому класу Гельдера, обов'язково задовольняє умові Діні-Ліпшіця. Ті, что протилежних Твердження невірно, видно, Наприклад, з РОЗГЛЯДУ Функції
В
для Якої и яка задовольняє умові Діні-Ліпшіця и в тій же година НЕ захи ніякому класу
природними узагальнення класів Гельдера є так звані класи
Означення 3.
Нехай - будь-яка функція, что є модулем неперервності, і - стала. Тоді через позначімо клас усіх неперервно функцій, для кожної з якіх
(3)
а через - множини всех функцій, шкірні з якіх, при будь-якому захи класу.
У множіні діференційовніх функцій ВАЖЛИВО роль відіграють класи функцій, Які візначаються в такий способ.
Означення 4.
Позначімо при фіксованому натуральному через
и т. д. класи функцій, шкірні з якіх має абсолютно неперервні похідні до порядку и у якіх-та похідна захи відповідно Класа Крім того, при будемо вважаті, что
В
У випадка, ЯКЩО нам буде бажано вказаті проміжок, на якому завдань який-небудь клас функцій, мі, Наприклад, вместо и т. д. будемо писати и т. д., а у випадка, ЯКЩО Функції даного класу є ще -періодічнімі и мі цею факт Хочемо підкресліті, то будемо такий клас позначаті через и т. д.
Висновки
У курсі математичного аналізу кла неперервно функцій є одним з найважлівішіх, и его теорія є Дуже багато результатами. У свою черго модуль неперервності займає ВАЖЛИВО місце в класі неперервно функцій. p> Згідно з означенность модуль неперервності Функції при шкірному фіксованому вказує величину максимального коливання Функції на довільному сегменті Довжина, что містіться на.
Звідсі, зокрема, віпліває, что
,;
,,
Це Означення залішається Справедливість такоже для нескінченного проміжку за умови, что функція є на ньом рівномірно неперервно.
Чотірма Головними властівостямі модуля неперервності модуль неперервності Повністю візначається в тому СЕНСІ, что будь-яка функція, яка ними володіє, служити модулем неперервності для деякої неперервної Функції, а самє, для самої себе: так что для Такої Функції.
Дійсно, ЯКЩО для,, справедливі Властивості 1) - 4), то тоді для будь-яких,, маємо и при довільному
, ...
