егральную функцію інтерполяційним многочленом Лагранжа Р (х), взявши на відрізку [а, b] деякі n значень функції
де які завгодно точки відрізка [а, b]:
В
Отримаємо наступну наближену формулу інтегрування:
В
після деяких обчислень вона прийме вигляд
В
де коефіцієнти Ci обчислюються за формулами
В
Формула (8) громіздка і незручна для обчислень, так як коефіцієнти З виражаються складними дробами.
Чебишев поставив зворотний завдання: задати не абсциси , а коефіцієнти і визначити абсциси
Коефіцієнти Ci-задаються так, щоб формула (8) була можливо простіше для обчислень. Очевидно, що це буде тоді, коли всі коефіцієнти Ci рівні між собою: .
Якщо позначити загальне значення коефіцієнтів через Cn то формула (8) прийме вигляд
В
Формула (9) представляє взагалі наближена рівність, але якщо f (x) есть многочлен ступеня не вище n - 1, то рівність буде точним. Ця обставина і дозволяє визначити вели-чини
Щоб отримати формулу, зручну для будь-якого проміжку інтегрування, перетворимо відрізок інтегрування [а, b] у відрізок [-1, 1]. Для цього покладемо ; тоді при t = - 1 буде х = а, при t = +1 буде х = b.
Отже
,
де через ф (t) позначена функція від t, що стоїть під знаком інтеграла. Таким чином, завдання інтегрування даної функції
f (x) на відрізку [а, b] завжди може бути зведена до інтегрування деякої іншої функції ф (х) на відрізку [-1, 1].
Отже, завдання звелася до того, щоб у формулі
В
підібрати числа так, щоб ця формула була точною для всякої функції f (x) виду
В
Зауважимо, що
В
З іншого боку, сума, що стоїть в правій частині рівності (10), на підставі (11) дорівнюватиме
В
Прирівнюючи вирази (11) і (12), отримаємо рівність, яке має бути справедливо при будь-яких
В
Прирівняємо коефіцієнти при в лівій і правій частинах рівності
В
З останніх n - 1 рівнянь знаходимо абсциси Ці рішення знайдені Чебишевим для різних значень n.
Нижче наводяться знайдені ним рішення у випадках, коли число n проміжних точок дорівнює 3, 4, 5, 6, 7, 9
...
