В
Таким чином, наближене обчислення інтеграла на відрізку [- 1,1] проводиться за такою формулою Чебишева
В
де n-яке-або з чисел 3, 4, 5, 6, 7 або 9, a -числа, наведені в таблиці. В якості n не можна брати число 8 або числа, що перевершують 9; в цьому випадку система рівнянь (13) дає уявні корені. Коли заданий інтеграл має межі інтегрування а і b, формула Чебишева приймає вигляд
В
Зазначимо, що теорія наближеного обчислення інтегралів отримала подальший розвиток в роботах академіка А. Н. Крилова (1863-1945).
4. Рішення задач аналітичним способом
Формула Ньютона-Лейбніца.
Якщо f (x) неперервна на відрізку [a, b], і F (x) - деяка первообразная функції, то
В
Доказ.
Ми встановили, що функція - первообразная безперервної f (x). Так як F (x) - теж первообразная, то Ф (x) = F (x) + C. Покладемо в цій рівності x = a. p> Так як
В
то
У рівності переобозначив змінні: для змінної інтегрування t повернемося до позначення x, верхня межа x позначимо b. Остаточно
В
Різниця в правій частині формули Ньютона-Лейбніца позначається спеціальним символом
В
(тут читається як "підстановка від a до b"), тому формулу Ньютона-Лейбніца зазвичай записують так
В
Приклад застосування формули Ньютона-Лейбніца
В
Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла.
Якщо u (x), v (x) - безперервно диференціюються функції, то
В
Доказ.
Інтегруємо рівність в межах від a до b
В
Функція в лівому интеграле має первісну uv, за формулою Ньютона-Лейбніца
В
Отже
В
звідки і слід доказувана рівність.
Приклад
В
Заміна змінної у визначеному інтегралі.
Теорема. Нехай функція
визначена, безперервно дифференцируема й монотонна на відрізку,
,
функція неперервна на відрізку [a, b].
Тоді
В
Доказ.
Нехай F (x) - первісна для функції f (x), тобто , Тоді - первісна для функції. <В
що й потрібно було довести.
При вирішенні завдань не можна забувати про те, що при переході до нової змінної треба обов'язково обчислити нові межі інтеграла.
Приклад
В
.
5. Застосування пакету Mathcad для обчислення інтегралів, перевірка результатів обчислень за допомогою Mathcad
Аналітичне обчислення певного інтеграла.
Для обчислення визначеного інтеграла слід використовувати спеціальний оператор Definite Integral панелі Calculus (клавіші Shift +7).
В
Оператор містить чотири маркери, що заповнюються в повній відповідності з прийн...
