чніше сума в правій частині рівності дає значення інтеграла. Формула Сімпсона дає найточніше значення інтеграла (з класичних формул наближеного інтегрування), похибка для цього методу знаходиться за формулою:
В
де
Б) Без використання парабол
У тих випадках, коли лінія y = f (x) між x = a і x = b мало вигнута, інтеграл наближено виражається досить простою формулою. br/>В
Будемо вважати f (x) позитивною і шукати площа криволінійної трапеції aABb. Для цього поділимо відрізок [a; b] точкою навпіл і в точці c (c, f (c)) проведемо дотичну до лінії y = f (x). Після цього розділимо [a, b] точками p і g на 3 рівні частини і проведемо через них прямі x = p і x = q. P і Q - точки перетину прямих з дотичній. Поєднавши AP і BQ, отримаємо 3 прямолінійні трапеції aAPp, pPQq, qQBb. Сума площ цих трапецій дорівнює буде приблизно дорівнює площі криволінійної трапеції aABb:
Позначимо: Aa, Pp, qQ, bB - підстави трапецій;
- висота трапецій, в даному випадку число n суворо задано n = 3
Отримуємо
(6)
Позначимо, що: aA = f (a) = ya, bB = f (b) = yb. Відрізки pP і qQ не є ординатами точок лінії y = f (x), так як P і Q лежать на дотичній. Але нам потрібна сума цих відрізків, яка виражається через середню лінію трапеції і дорівнює напівсумі її підстав, звідки. Значить. Формула (6) приймає вигляд:
(7)
Ця формула називається малою формулою Сімпсона.
В
Мала формула Сімпсона придатна, коли графік подинтегральной функції мало зігнутий, наприклад для випадку, зображеного на малюнку, застосовувати малу формулу вже не можна, так як вона дає значення 0 на [a, b]. Але якщо відрізок [a, b] розбити на частини [a, c] і [c, b] і до кожного з них застосувати формулу (7), то вийде прийнятний результат. p align="justify"> Ця ідея лежить в основі виведення В«великийВ» формули Сімпсона.
Для обчислення інтегралу оберемо-яке парне число і розкладемо [a, b] на n рівних частин точками. Інтеграл представимо у вигляді суми
В
До кожного доданку праворуч застосуємо малу формулу Сімпсона. Враховуючи, що в кожному интеграле довжина проміжку інтегрування, і покласти, то отримаємо
В
Розкриємо дужки
В
Це і є В«велика формула СімпсонаВ». Її точність, також як і у всіх формул розглянутих вище, тим вище, чим більше n. Ця формула збігається з формулою (5), виведеної за допомогою парабол. Для оцінки похибки формули Сімпсона використовується формула
В
Якість цієї формули краще, ніж формули трапеції і прямокутників, так як при одному і тому ж n вона дає більшу точність.
3. Формула Чебушева
У технічних обчисленнях часто застосовується формула Чебишева для наближеного інтегрування.
Нехай знову потрібно обчислити
В
Замінимо подинт...
