/>
З урахуванням цих співвідношень перший доданок в (2.13) запишемо так:
Другий доданок в (2.13) отримаємо за допомогою аналогічних перетворень.
Остаточне вираз для ядра має вигляд
При зверненні ядер, що містять співмножник, використано наступне співвідношення:
(2.17)
Справедливість такого переходу покажемо в одновимірному випадку.
Нехай є інтегральне представлення
яке завжди можна записати у вигляді
де - різницеве ??ядро,.
Використовуючи властивість різницевих ядер
і правило інтегрування частинами, отримуємо
Якщо, то можна записати
(2.18)
Застосовуючи тепер до (2.18) пряме і зворотне перетворення Фур'є, остаточно отримуємо
Аналогічно можна показати, що
за умови
на кінцях лінії.
Оскільки скачки температури і теплових потоків дорівнюють нулю на кінцях розрізу [15; 9], то співвідношення (2.17) справедливо в даному випадку.
В результаті застосування формули звернення (2.12) до співвідношень (2.9), (2.10), (2.11) отримаємо інтегральні представлення компонент температурного поля:
; (2.19)
(2.20)
(2.21)
Тут - ядра інтегральних уявлень, наприклад:
складова ядер і перші доданки в ядрах відповідають «плоскої частини без теплообміну». Вони містять сингулярна особливість типу Коші, тому характер поведінки температури і теплових потоків в околиці решт розрізу визначатиметься функціями і.
З фізичного змісту задачі випливає, що скачки є обмеженими функціями і, отже, температура буде кінцевою в околиці решт розрізу. Функції мають особливістю типу [9], тому теплові потоки в околиці кінцевих точок розрізу будуть володіти особливістю типу.
Необхідно вказати область застосування використовуваної методики вирішення задач теплопровідності. З умов існування інтеграла (2.16) випливає, що
;
Підставляючи в ці нерівності значення з (2.15), виражені через геометричні та теплофізичні параметри оболонки, прийдемо до умови
(2.22)
Розглянувши три граничних випадки теплообміну для оболонок максимальної кривизни ()
.
.
.
отримаємо обмеження на значення параметрів теплообміну. ??
Таким чином, умова (2.22) не обмежує кола розв'язуваних прикладних завдань і не дозволяє розглядати тільки оболонки з одночасно повністю термоізольовані поверхнями.
2.3 Зведення задачі теплопровідності до систем сингулярних інтегральних рівнянь
При вирішенні задачі теплопровідності обмежимося випадком довільно орієнтованого прямолінійного розрізу. Розглянемо тонку ізотропну оболонку довільної гаусової кривизни, що містить прямолінійний в плані розрізу довжиною (рис. 2.2, де - орти системи координат). Початок координат помістимо в середині розрізу, який орієнтований під кутом до осі.
Рис. 2.2 Довільно орієнтований розріз
Система диференціальних рівнянь теплопровідності (1.3) містить лише диференційний оператор Лапласа, який не змінює свій вигляд при повороті системи координат. Тому рівняння (1.3) не зміняться при повороті координатної системи на кут, при суміщенні лінії...
