="justify"> 2.2 Інтегральні представлення компонент температурного поля
Рішення задачі теплопровідності є інтегральним поданням для в просторі трансформант. Отримаємо аналогічні вистави для похідних від. Для цього скористаємося формулою (2.5) і рішенням (2.9). Перетворення покажемо на прикладі трансформанти ядра інтегрального уявлення, що стоїть при стрибку,
З наведених перетворень видно, що найбільш істотно змінюється «плоска частина без теплообміну». У неї входить новий оператор, який формально відповідає трансформанта похідною по дотичній. Надалі буде показано, що за певних умов, які виконуються в розглянутому випадку, величину можна відокремлювати від ядра, що відповідає у вихідному просторі диференціюванню функції, що стоїть при ядрі. Тому трансформанти похідних і представимо в наступному вигляді:
(2.10)
Тут вираз відповідає співмножником; , - Трансформанти ядер. Наприклад,
Трансформантів ядер є окремо виділена «плоска частина без теплообміну».
Аналогічно, використовуючи формули (2.6) і рішення (2.9), отримуємо інтегральні представлення других похідних від, в просторі трансформант
(2.11)
де,, - трансформанти ядер.
Оригінали компонент температурного поля знайдемо за допомогою формули звернення для двовимірного перетворення Фур'є [4]: ??
(2.12)
Методику отримання оригіналів ядер покажемо на прикладі ядра. Згідно з формулою звернення маємо
що на підставі властивостей перетворення Фур'є еквівалентно висловом
або
Тут - радіус-вектор точки в новій системі координат, початок якої поєднане з поточною точкою інтегрування на лінії;- Відповідно радіус-вектор і координати поточної точки у вихідній системі координат (рис.2.1);- Радіус-вектор точки на лінії.
Рисунок 2.1. Положення нової системи координат, пов'язаної з поточною точкою інтегрування
Надалі слід пам'ятати, що ми маємо справу з різницевими ядрами, незалежні змінні яких потрібно розглядати в новій системі координат, пов'язаної з поточною точкою інтегрування (рис. 2.1).
Згідно з формулою (2.12) маємо
.
Оскільки проміжок інтегрування симетричний, то, виділяючи парні і непарні частини в подинтегральних функціях, отримуємо
(2.13)
Для спрощення обчислень інтегралів перейдемо в (2.13) до полярних координат:
і скористаємося розкладаннями
де - функції Бесселя першого роду.
Тоді перший інтеграл з (2.13) перетвориться до виду
Враховуючи, що
отримуємо
Розглянемо інтеграл
(2.14)
Представляючи знаменник в виде твори співмножників і розкладаючи отриману функцію на елементарні дроби, перетворимо інтеграл (2.14) до виду
Тут - негативні корені рівняння;
тобто
(2.15)
Скориставшись інтегральним поданням спеціальної функції
(2.16)
запишемо остаточний вираз для інтеграла (2.14)
Аналогічно отримаємо вираз для інтеграла
