знання отримували, виходячи з чистого роздуми, не вдаючись до спостереження. Тому стали думати, що воно дає нам ідеал знання, у порівнянні з яким буденне емпіричне знання неспроможне. На основі математики було зроблено припущення, що думка вище почуття, інтуїція вище спостереження. Якщо ж чуттєвий світ не вкладається в математичні рамки, то тим гірше для цього чуттєвого світу. І ось всілякими способами почали відшукувати методи дослідження, найбільш близькі до математичного ідеалу. Отримані в результаті цього концепції стали джерелом багатьох помилкових поглядів в метафізиці і теорії пізнання. Ця форма філософії починається з Піфагора.
Як відомо, Піфагор говорив, що «всі речі суть числа». Якщо це положення витлумачити в сучасному дусі, то в логічному відношенні воно здається нісенітницею. Але те, що розумів під цим положенням Піфагор, - не зовсім нісенітниця. Піфагор відкрив, що число має велике значення в музиці; про встановлену їм зв'язку між музикою і арифметикою нагадують досі такі математичні вирази, як «гармонійне середнє» і «гармонійна прогресія». В його уяві числа, на зразок чисел на гральних кістках або картах, володіють формою. Ми все ще говоримо про квадратах і кубах чисел, і цими термінами ми зобов'язані Піфагору. Піфагор точно так само говорив про довгастих, трикутних, пірамідальних числах і т. д. Це були числа жмень гальки (або, більш природно для нас, числа жмень дробу), необхідні для утворення форми. Піфагор, очевидно, вважав, що світ складається з атомів, що тіла побудовані з молекул, що складаються в свою чергу з атомів впорядкованих в різні форми. Таким чином, він сподівався зробити арифметику науковою основою у фізиці, так само як і в естетиці.
Положення, згідно з яким сума квадратів сторін прямокутного трикутника, прилеглих до прямого кута, дорівнює квадрату третьої сторони - гіпотенузи, було найбільшим відкриттям Піфагора або його безпосередніх учнів. Єгиптяни знали, що трикутник, сторони якого рівні 3, 4 або 5, є прямокутним, але, очевидно, греки першими помітили, що З2 + 42=52 і, виходячи з цього припущення, відкрили доказ загальної теореми.
До нещастя для Піфагора, ця його теорема відразу ж привела до відкриття несумірності, а це явище спростовувало всю його філософію. У прямокутному трикутник квадрат гіпотенузи дорівнює подвоєному квадрату кожної зі сторін. Припустимо, що кожен катет дорівнює одному дюйму; яка в такому випадку довжина гіпотенузи? Припустимо, що її довжина дорівнює т / п дюймів. Тоді т2/п2=- 2. Якщо т і п мають загальний множник, розділимо їх на нього. У такому випадку принаймні або т, або п має бути непарною. Але тепер врахуємо, що раз m2=2 n2, отже, m2 - парне і, стало бути, m - парне, an - непарне. У такому випадку припустимо отже, припустимо, що m=2р. Тоді 4p2=2n2; отже, n2=2p2, отже n - парне, що суперечить допущенню. Тому гіпотенузу не можна виміряти дробовим числом т / п. Це доказ є, по суті, доказом, який наводиться у Евкліда в книзі Х (30).
Це доказ говорить про те, що, яку б одиницю довжини ми не вибрали, існують відрізки, які не перебувають у точній числовому відношенні до цієї одиниці, тобто що немає таких двох цілих чисел тип, при яких розглянутий відрізок, взятий т раз, був б дорівнює одиниці довжини, взятої п раз. Це положення призвело грецьких математиків до думки, що геометрію слід розвивати незалежно від математики. Деякі місця в платонівських діалогах показують, що в його час була прийнята незалежна в...
