ід арифметики трактування геометрії; цей принцип отримав своє завершення у Евкліда. У книзі II Евклід доводить геометрично багато чого з того, що для нас природніше було б доводити алгебраїчно, наприклад, що (а + b) 2=а2 + 2ab + b2. Евклід вважав цей спосіб необхідним саме завдяки труднощам, пов'язаним з неспівмірністю величин. Те ж саме спостерігається і в тлумаченні Евклидом пропорції в книгах V і VI. Вся система Евкліда чудова в логічному відношенні, і вона передбачила математичну строгість висновків математиків XIX століття. Оскільки адекватної арифметичної теорії несумірних величин не існувало, метод Евкліда був найкращим з можливих в геометрії методів. Коли Декарт ввів координати в геометрію, знову повернувши тим самим арифметиці верховенство, він зробив припущення, що дозвіл проблеми несумірності цілком можливо, хоча в його час таке рішення ще не було знайдено.
Вплив геометрії на філософію і науковий метод було глибоким. Геометрія в такому вигляді, в якому вона встановилася у греків, відправляється від аксіом, які є самоочевидними (або покладаються такими), і через дедуктивні міркування приходить до теорем, які дуже далекі від самоочевидності. При цьому стверджують, що аксіоми і теореми є істинними стосовно дійсного простору, який є чимось даним в досвіді. Тому здається можливим, використовуючи дедукцію, здійснювати відкриття, які стосуються дійсному світу, виходячи з того, що є самоочевидним. Подібна точка зору вплинула як на Платона і Канта, так і на багатьох інших філософів, що стояли між ними. Коли Декларація незалежності каже: «Ми стверджуємо, що ці істини самоочевидні», - вона слід зразком Евкліда. Поширена в XVIII столітті, доктрина про природні права людини є пошуком евклідових аксіом в області політики (31).
Форма ньютоновского твори «Начала», незважаючи на його загальновизнаний емпіричний матеріал, цілком визначається впливом Евкліда. Теологія у своїх найбільш точних схоластичних формах зобов'язана своїм стилем того ж джерела. Особиста релігія веде свій початок від екстазу, теологія - з математики; і те і інше можна знайти у Піфагора.
Я вважаю, що математика є головним джерелом віри у вічну і точну істину, як і в надчуттєвий інтелігібельний світ. Геометрія має справу з точними колами, але жоден чуттєвий об'єкт не є точно круглим; і як би ми ретельно не застосовували наш циркуль, окружності завжди будуть до певної міри недосконалими і неправильними. Це наштовхує на припущення, що всяке точне роздум має справу з ідеалом, протистояли чуттєвих об'єктів. Природно зробити ще один крок вперед і доводити, що думка шляхетніше почуття, а об'єкти думки більш реальні, ніж об'єкти чуттєвого сприйняття. Містичні доктрини з приводу співвідношення часу і вічності також отримують підтримку від чистої математики, бо математичні об'єкти, наприклад числа (якщо вони взагалі реальні), є вічними і позачасові. А подібні вічні об'єкти можуть у свою чергу бути витлумачені як думки Бога. Звідси платонівська доктрина, згідно з якою Бог є геометром, а також представлення сера Джеймса Джинса про те, що Бог віддається арифметичним занять. З часу Піфагора, а особливо Платона, раціоналістична релігія, що є протилежністю релігії одкровення, перебувала під повним впливом математики і математичного методу.
Започаткували з Піфагора поєднання математики і теології характерно для релігійної філософії Греції, середньовіччя та Нового часу аж до Канта. До Піфагора орфизм був аналогічний азіатс...
