ign="justify"> Елементи x, y, ..., z простору V називають лінійно залежними, якщо знайдуться такі дійсні числа?,?, ...,?, з яких хоча б одне відмінно від нуля, що лінійна комбінація елементів x, y, ..., z з вказаними числами є нульовим елементом простору V, тобто має місце рівність:? x +? y + ... +? z=0
Елементи x, y, ..., z простору V називають лінійно незалежними, якщо зазначена вище лінійна комбінація є нульовим елементом простору V лише за умови? =?=... =?=0.
Для того щоб елементи x, y, ..., z простору V були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб один з цих елементів був лінійною комбінацією інших елементів. При цьому якщо серед елементів є нульовий, то ці елементи лінійно залежні. А також, якщо частина елементів x, y, ..., z лінійно залежна, то і всі ці елементи є лінійно залежними.
Поняття лінійної залежності є, таким чином, природним узагальненням понять коллинеарности і компланарності геометричних векторів. Ми знаємо, що в просторі У 3 таких векторів особлива роль належить трійці координатних ортов i , j , k . Природно виникає питання відшукання в довільному векторному просторі V систем векторів, що володіють подібними властивостями.
Сукупність лінійно незалежних елементів e1, e2, ... en простору V називається базисом цього простору, якщо для кожного елемента x простору V знайдуться речові числа x 1, x 2, ..., xn такі, що справедливо рівність:
x=x 1 e 1 + x 2 e 2 + ... + xnen
Дане рівність називається розкладанням вектора x по базису e 1, e 2, ..., en, а числа x 1, x 2, ..., xn називаються координатами вектора x (щодо базису e 1, e 2, ..., en). Розкладання по базису для кожного елемента x є єдиним.
Відзначимо, що для арифметичного лінійного векторного простору А n, яке було розглянуто в Прімері 3, одним з базисів є наступні n елементів: e 1=(1, 0, ..., 0), e 2= (0, 1, ..., 0), ..., en=(0, 0, ..., 1).
При складанні двох будь-яких елементів лінійного простору їх координати (щодо будь-якого базису) складаються; при множенні довільного елемента на будь-яке число всі координати цього елемента множаться на це число.
Лінійне простір називається n-мірним, якщо в ньому існує n лінійно незалежних елементів, а будь-які n +1 елементів вже є лінійно залежними. У цьому випадку число n називають розмірністю простору, наприклад V, і позначають dimV. Якщо лінійний простір має розмірність n, то будь-які n лінійно незалежних елементів утворюють його базис. І, навпаки, якщо базис лінійного простору містить n векторів, то розмірність даного простору дорівнює n. Так, розмірність арифметичного лінійного векторного простору A n дорівнює n, розмірність простору {x} (розглянутого в прикладі 2) дорівнює одиниці.
Слід зазначити, що різні лінійні простори однієї і тієї ж розмірності n в сенсі властивостей, пов'язаних з введеними в цих просторах операціями, по суті не відрізняються один від одного. У цьому зв'язку вводиться визначення ізоморфних лінійних просторів. Так, два довільних речових лінійних простору V і V `називаються ізоморфними, якщо між елементами цих просторів можна встановити взаємно однозначна відповідність. А саме, якщо елементам x і y простору V відповідають елементи x `і ...
