одів для системи M/M/1
З умови ергодичності для процесу загибелі і розмноження випливає, що якщо, то існує єдине стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним, називається коефіцієнтом завантаження мережі. Рівняння рівноваги має вигляд,, звідки знаходимо, що:
.
Ймовірність можна знайти, використовуючи умова нормування (2.4), звідки випливає, що і тому
,,
т. е. число заявок в такій системі масового обслуговування в стаціонарному режимі має геометричний розподіл.
Легко знайти виробляє функцію такого розподілу:
,.
Звідси отримуємо вираз для середнього числа заявок в системі в стаціонарному режимі:
.
Очевидно, що черга в системі масового обслуговування необмежено зростає [3, 4].
.2 Визначення математичного сподівання для системи масового обслуговування M/M/n/0
Це система з втратами без очікування. Якщо заявка надходить в систему в момент, коли обслуговуванням зайняті всі n ліній, то вона втрачається. Така система була введена датським інженером Ерланген на початку минулого століття і застосована в якості моделі обробки викликів, що надходять на телефонну станцію. Граф переходів для такої системи масового обслуговування має вигляд (рисунок 3.2):
Рисунок 3.2 - Граф інтенсивностей переходів для системи M/M/n/0
Оскільки число станів системи звичайно, а ланцюг Маркова Непріводімие, то єдине стаціонарний розподіл, що збігається з ергодичним, завжди існує при будь-яких параметрах. Запишемо рівняння рівноваги для стаціонарних ймовірностей станів:
.
Звідси отримуємо:
.
Імовірність, як завжди, можна знайти з умови нормування (2.4), звідки:
.
Таким чином, отримуємо:
.
Середнє число заявок в системі визначається співвідношенням:
.
При великих n можна використовувати асимптотику [4].
2.3 Визначення математичного сподівання для системи масового обслуговування M / M / n
Це многолинейная система з очікуванням. Якщо обслуговуванням заявок зайняті всі n ліній, то інтенсивність обслуговування дорівнює. Граф переходу для цієї системи має вигляд (малюнок 3.3):
Малюнок 3.3 - Граф інтенсивностей переходів для системи M / M / n
Стаціонарне розподіл існує, якщо
.
Рівняння рівноваги мають наступний вигляд:
звідки, аналогічно попередньому випадку, отримуємо
.
Умова нормировки в цьому випадку прийме вигляд:
,
звідки випливає, що
.
Середнє число заявок в стаціонарному режимі дорівнює
.
2.4 Визначення математичного сподівання для системи масового обслуговування M / M / n / N
Це многолинейная система з обмеженим числом місць для очікування. Вона відрізняється від попередньої системи масового обслуговування тим, що в ній є лише N місць для очікування. Тому граф переходів в цьому випадку має вигляд (малюнок 3.4):
Малюнок 3.4 - Граф інтенсивностей переходів для системи M / M / n / N
Оскільки число станів системи звичайно, те єдине стаціонар...
