ймовірності Pi для сталого режиму виражаються через єдину невідому константу P0. Рівність (2.4) дає додаткову умову, що дозволяє визначити P0. Тоді, підсумовуючи по всіх i, для P0 отримаємо (2.7) [2]:
. (2.7)
Звернемося до питання про існування стаціонарних ймовірностей Pi. Для того щоб отримані вирази задавали ймовірності, звичайно накладається вимога, щоб P0> 0. Це, очевидно, накладає обмеження на коефіцієнти розмноження і загибелі у відповідних рівняннях. По суті потрібно, щоб система іноді спустошувалася; це умова стабільності представляється досить резонним, якщо звернутися до прикладів реального життя. Якщо ростуть дуже швидко в порівнянні з, то може виявитися, що з позитивною ймовірністю в кінцевий момент часу t процес піде з фазового простору {0,1, ...} в «нескінченно віддалену точку?» (Особин в популяції стане занадто багато). Іншими словами процес стане не регулярним, і тоді рівність (2.4) буде порушено. Визначимо такі дві суми:
Для регулярності процесу розмноження і загибелі необхідно і достатньо, щоб S2 =.
Для існування його стаціонарного розподілу необхідно і достатньо, щоб S1 < .
Для того щоб всі стани Ei розглянутого процесу розмноження і загибелі були ергодичними необхідно і достатньо збіжності ряду S1 < , При цьому ряд повинен розходитися S2 =. Тільки ергодичний випадок приводить до усталених ймовірностям Pi, i=0, 1, 2, ..., і саме цей випадок становить інтерес. Зауважимо, що умови ергодичності виконуються, наприклад, коли, починаючи з деякого i, всі члени послідовності {} обмежені одиницею, тобто тоді, коли існує деякий i0 (і деяка С <1) таке, що для всіх ii0 виконується нерівність:
Цьому нерівності можна дати просте тлумачення: починаючи з деякого стану Ei і для всіх наступних станів інтенсивність потоку розмноження, повинна бути менше інтенсивності потоку загибелі [1].
Іноді в практиці зустрічаються процеси «чистого» розмноження. Процесом «чистого» розмноження називається такий процес загибелі і розмноження, у якого інтенсивність всіх потоків загибелі дорівнюють нулю. Граф станів такого процесу без обмеження на число станів показаний на малюнку (2.2):
Малюнок 2.2 - Граф інтенсивностей переходів для процесу «чистого» розмноження
Система рівняння Колмогорова для таких процесів може бути отримана з системи рівнянь (2.1), в якій потрібно покласти все інтенсивності потоків процесів загибелі рівними нулю:.
Аналогічно вводиться поняття «чистої» загибелі. Процесом «чистої» загибелі називається такий процес загибелі і розмноження, у якого інтенсивності всіх потоків розмноження дорівнюють нулю. Граф станів такого процесу без обмеження на число станів показаний на малюнку:
Малюнок 2.3 - Граф інтенсивностей переходів для процесу «чистої» загибелі
Система рівняння Колмогорова для таких процесів може бути отримана з системи рівнянь (2.1), в якій потрібно покласти все інтенсивності потоків процесів загибелі рівними нулю: [3].
2. Приклади процесів размноеніяі загибелі у разі найпростіших систем масового обслуговування
.1 Визначення математичного сподівання для системи масового обслуговування M/M/1
Розглянута система масового обслуговування є процесом розмноження і загибелі з наступним графом переходів (рисунок 3.1):
Малюнок 3.1 - Граф інтенсивностей перех...
