аним стратегіям (x1, x2) першого гравця, де x1=1 - x2. Через кінці відрізка проведемо прямі, перпендикулярні осі ОX, на яких будемо відкладати виграш при відповідних чистих стратегіях. Якщо гравець В застосовує стратегію В1, то виграш при використанні першим гравцем стратегій А1 і А2 складе відповідно а11 і а21. Відкладемо ці точки на прямих і з'єднаємо їх відрізком В1В1. Якщо гравець А застосовує змішану стратегію, то виграшу відповідає деяка точка М, що лежить на цьому відрізку. (Див. рис.1)
Рис.1. Стратегії гравця А
Аналогічно будується відрізок В2В2, відповідний стратегії В2 гравця В.
Ламана лінія, складена з частин відрізків, що інтерпретують стратегії гравця В, розташована нижче всіх відрізків, є нижньою межею виграшу, одержуваного гравцем А.
Стратегії, частини яких утворюють нижню межу виграшу, будуть активними стратегіями.
У грі (2? 2) обидві стратегії є активними.
Рис.2. Стратегії гравців А і В
Ламана В1NВ2 є нижньою межею виграшу, одержуваного гравцем А. (див. рис.2) Точка N, в якій він максимальний, визначає ціну гри і її рішення. Знайдемо оптимальну стратегію першого гравця. Запишемо систему рівнянь
Прирівнюючи вирази для v з рівнянь системи і враховуючи, що
x1 + x2=1, отримаємо
,, (1)
. (2)
Складаючи аналогічну систему
і враховуючи умову
y1 + y2=1,
можна знайти оптимальну стратегію гравця В:
. (3)
Другий випадок. Гра (2? N) з матрицею <# «44» src=«doc_zip44.jpg» />.
Для кожної з n стратегій гравця В будується відповідний їй відрізок на площині. Знаходиться нижня межа виграшу, одержуваного гравцем А, і визначається точка на нижній межі, відповідна найбільшому виграшу. Виділяються дві активні стратегії гравця В, відрізки яких проходять через дану точку. Далі розглядаються тільки ці дві стратегії гравця В. Гра зводиться до гри з матрицею (2? 2). Оптимальні стратегії і ціну гри знаходять за формулами (1) - (3).
Третій випадок. Розглянемо гру (m? 2) з матрицею
.
Рішення гри може бути отримано аналогічно нагоди два. Для кожної з m стратегій гравця А будується відповідний їй відрізок на площині.
Знаходиться верхня межа програшу, одержуваного гравцем В, і визначається точка на нижній межі, відповідна найменшому програшу. Виділяються дві активні стратегії гравця А, відрізки яких проходять через дану точку.
Далі розглядаються тільки ці дві стратегії гравця А. Гра зводиться до гри з матрицею (2? 2). Оптимальні стратегії і ціну гри знаходять за формулами (1) - (3).
2.4 Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування
Теорія ігор знаходиться в тісному зв'язку з лінійним програмуванням, так як кожна кінцева гра двох осіб <# «84» src=«doc_zip46.jpg» />.
Якщо платіжна матриця не має сідлової точки <# «17» src=«doc_zip47.jpg» />, То рішення гри представлено у змішаних стратегіях <# «19» src=«doc_zip48.jpg» /> (X1, x2, ..., xm) і (y1, y2, ..., yn). Застосування першим гравцем оптимальної стратегії опт повинно забезпечити йому за будь-яких діях другого гравця виграш не менше ціни гри <# «39» src=«doc_zip51.jpg» />,.
Для завдання відшукання оптимальної...
