лом v. Воно називається ціною гри.
Якщо a=b=v, то така гра називається грою з сідловою, елемент матриці аiопт jопт=v, відповідний парі оптимальних стратегій (Aiопт, Bjопт), називається сідловою матриці. Цей елемент є ціною гри.
Седловой точці відповідають оптимальні стратегії гравців. Їх сукупність - рішення гри, яке має властивість: якщо один з гравців дотримується оптимальної стратегії, то другому відхилення від своєї оптимальної стратегії не може бути вигідним.
Якщо гра має седловую точку, то говорять, що вона вирішується в чистих стратегіях.
Наявність сідлової точки в грі - це далеко не правило, швидше, виняток. Існує різновид ігор, які завжди мають седловую точку, і, значить, вирішуються в чистих стратегіях. Це так звані ігри з повною інформацією.
Грою з повною інформацією називається така гра, в якій кожен гравець при кожному особистому ході знає всю передісторію її розвитку, тобто результати всіх попередніх ходів.
Кожна гра з повною інформацією має седловую точку, отже, вирішується в чистих стратегіях, тобто є пара оптимальних чистих стратегій, що дає стійкий виграш, рівний n.
Якщо така гра складається тільки з особистих ходів, то при застосуванні кожним гравцем своєї оптимальної чистої стратегії вона повинна кінчатися виграшем, рівним ціні гри. Скажімо, шахова гра, як гра з повною інформацією, або завжди кінчається виграшем білих, або завжди - виграшем чорних, або завжди - нічиєю.
2.2 Рішення матричної гри в змішаних стратегіях
Якщо платіжна матриця <# «21» src=«doc_zip18.jpg» />, То пошук рішення ігри <# «19» src=«doc_zip19.jpg» /> (X1, x2, ..., xm), з якими гравець застосовує свої чисті стратегії. Ці набори можна розглянути як m-мірні вектори <# «39» src=«doc_zip20.jpg» />, Xi? 0,.
Аналогічно для другого гравця набори ймовірностей визначають n-мірні вектори (y1, y2, ..., yn), для координат яких виконуються умови
=1, yj? 0,.
Виграш першого гравця при використанні змішаних стратегій визначають як математичне сподівання виграшу, тобто він дорівнює
.
Згідно теорії Неймана, кожна кінцева гра має, принаймні, одне рішення, можливо, в області змішаних стратегій. Застосування оптимальної стратегії <# «19» src=«doc_zip26.jpg» /> Опт повинно забезпечити йому за будь-яких діях другого гравця виграш не менше ціни гри. Тому виконується співвідношення
,.
Аналогічно для другого гравця оптимальна стратегія опт повинна забезпечити за будь-яких стратегіях першого гравця програш, що не перевищує ціну гри, тобто справедливе співвідношення
,.
Якщо платіжна матриця <# «44» src=«doc_zip32.jpg» />
Рішенням гри являются змішані стратегії <# «19» src=«doc_zip33.jpg» /> (X1, x2) і (y1, y2), де x1 - ймовірність застосування першим гравцем першої стратегії, x2 - ймовірність застосування першим гравцем другого стратегії, y1 - ймовірність застосування другим гравцем першої стратегії, y2 - ймовірність застосування другим гравцем другого стратегії. Очевидно, що
x1 + x2=1, y1 + y2=1.
Знайдемо рішення гри графічним методом. На осі ОX відкладемо відрізок, довжина якого дорівнює одиниці. Лівий кінець (x=0) відповідає стратегії першого гравця А1, правий (x=1) - стратегії А2. Внутрішні точки відрізка відповідатимуть зміш...
