в деякій точці відносно цієї прямої.
. У геометрії Лобачевського існує залежність между Кутового и лінійнімі величинами; у Цьом істотна відмінність геометрії Лобачевського від геометрії Евкліда. Так, в геометрії Лобачевського немає подібності фігур; зокрема, трикутники з відповідно рівнімі кутамі Рівні. Ще один особлівість геометрії Лобачевського пов'язана з Одиниця виміру Довжина. У геометрії Евкліда існують абсолютні Константи Кутового величин, например прямий кут або радіан, тоді як лінійніх абсолютних констант НЕ існує. Для того, щоб довжина відрізків віразіті числами, необходимо вібрато Одиниця виміру довжін.В якості подобной одиниці может буті Вибраний довільній відрізок. У протілежність Цьом в геометрії Лобачевського немає в цьом необхідності, оскількі, маючі природну Одиниця виміру кутів, можна умовітіся про вибір природної одиниці Довжина. Например, за одиницю довжина можна вібрато відрізок, якому відповідає кут паралельності, Рівний П/4.
.5 ТРИКУТНИК и чотірікутнікі на площіні Лобачевського
. Усі теореми про трикутники, Які в геометрії Евкліда доводящего без допомоги аксіомі паралельності, мают місце такоже в геометрії Лобачевського. Переважно більшість теорем відносяться самє до цього типу. Теореми про рівнобедрені трикутники, три ознакой рівності трікутніків, теорема про Зовнішнє вугілля трикутника, теорема про співвідношення между сторонами и кутамі, теореми про перетин бісектріс внутренних кутів трикутника и про перетин.
Рис.9
Рис.10
Альо трикутники и чотірікутнікі на площіні Лобачевського мают ряд спеціфічніх властівостей. Розглянемо деякі з них.
Теорема 1. Сума кутів будь-которого трикутника менше 2d.
Нехай ABC- довільний трикутник. За першою теоремі Саккери - Лежандра (Сума кутів трикутника не більш 2d) АВС2d. Якщо припустити, що АВС=2d, то виявиться справедливим V постулат, що суперечить аксіомі V *. Отже, АВС lt; 2d.
Слідство. Сума кутів трикутника непостійна, т. Е. Не одна и та ж для усіх трікутніків.
Теорема 2. Сума кутів опуклого чотірікутніка менше 4 d.
Нехай ABCD -Даний опуклій чотірікутнік. Проведемо діагональ АС и розкладемо цею чотірікутнік на два трикутники ABC и ADC. ТогдаА + В + С + D=АВС + ADC. Але АВС lt; 2d і ADC lt; 2d, поетомуА + В + С + D lt; 4d.
Теорема 3. Если трьох куті одного трикутника відповідно дорівнюють трьом кутам Іншого трикутника, то ЦІ трикутники Рівні.
Нехай в трикутниках ABCіА У С маємо A=AB=B raquo ;, C=С. Доведемо спочатку, що АВ=AВ. Припустимо, що АВА У raquo ;; для визначеності припустимо, що АВ gt; А У raquo ;. На променях АВ і АС візьмемо точку і С так, щоб АВ =А У і АС =А С (рис. 10). За першою ознакою рівності трикутників маємо/ АВ З =/ А В'С, тому 1=2. За умовою 2=3, отже, 1=3. Аналогічно встановлюємо, що 4=6.По припущенням АВ gt; АВ тому А - В - В, т. Е. Пряма В С" перетинає сторону АВ трикутника ABC. У силу рівності
1=3 прямі В З і НД не перетинаються, отже, по аксіомі Паша пряма В З перетинає сторону АС трикутника ABC, і значить, А - С" - С. Звідси випливає, що чотирикутник BB» C »Cвипуклий.
З рівностей 1=3 і 4=6 випливає, що сума кутів цього чотирикутника дорівнює 4d. Таким чином приходимо в протиріччя з теоремою 2. Значить, АВ=АB. За другою ознакою рівності трикутників АВС=A У С '.
Рис. 11
Рис. 12
2. Опуклий чотирикутник називається двупрямоугольніком, якщо два кути, прилеглі до однієї сторони, прямі. Якщо ABCD- двупрямоугольнік з прямими угламіАі В, то сторона АВ називається основою, а сторони ADі НД - бічними сторонами. Двупрямоугольнік з рівними бічними сторонами називається чотирикутником Саккери. Розглянемо деякі властивості двупрямоугольніков.
1 °. Якщо ABCD- чотирикутник Саккери з основою АВ, ТОС=Dи кожен з кутів С і Dострий.
°. Якщо в двупрямоугольніке ABCDс підставою АВ AD lt; BC, ТОС lt; D.
°. Якщо в двупрямоугольніке ABCDс підставою АВС lt; D, то AD lt; НД
3. Моделі геометрії Лобачевського
Перелічімо найбільш відомі Класичні ізометрічніє (зберігають відстань между точками) моделі (інтерпретації) площіні Лобачевського, что має гауссову кривизну K=- 1:
· інтерпретація Бельтрамі в колі;
· інтерпретація Бельтрамі гіперболічної геометрії на псевдосфері;
· евклидова модель Келі-Клейна;
· проективної модель Келі Клейна;
· інтерпретація Пуанкаре на півплощіні;
· інтерпретація Пуанкаре усередіні кола;
· інтерпретація Пуанкаре на Гіперболоїд. Розглянемо деякі з них.
Рис. 13...
