області фіксують кінцеве число точок. Ці точки надалі називають вузлами;
Вважають, що досліджувана безперервна величина в кожному вузлі є змінною, що підлягає визначенню в процесі рішення задачі;
Область зміни безперервної величини розбивають на елементи. Ці елементи мають між собою загальні вузли і, в сукупності, апроксимують форму області в цілому;
Безперервну величину апроксимують в межах кожного елемента поліномом, коефіцієнти якого розраховують на підставі значень цієї величини у вузлах. Кожен елемент апроксимують своїм поліномом, а коефіцієнти поліномів підбирають таким чином, щоб зберігалася безперервність величини уздовж кордонів сусідніх елементів.
Фундаментальний принцип МКЕ полягає в розбитті досліджуваної області на елементарні області кінцевих розмірів (кінцеві елементи) [18]. У кожному такому елементі невідома функція апроксимується поліномом, ступінь якого змінюється в залежності від апроксимується завдання, але залишається зазвичай невисокою (від 1 до 6). Для кожного елемента аппроксимирующий поліном визначається його коефіцієнтами. Коефіцієнти можуть бути визначені значеннями функції в приватних точках, званих вузлами елемента. Якщо відома функція в кожному вузлі, то є можливість її апроксимації на всій області. Можна також сказати, що невідома функція A (x, y, z) залежить від M параметрів A 1, A 2, ..., AM, що є невідомими, які функція приймає в кожному вузлі кожного елемента. Визначення параметрів A 1, A 2, ..., AM є етапом визначення A (x, y, z).
Знаючи варіаційне представлення задачі,
, (1)
замінюють потрійний інтеграл на суму інтегралів на кожному кінцевому елементі області:
, (2)
де N e - число елементів розбиття; e - частина F на елементі з номером e.
На кожному елементі з номером e функція A може бути замінена її апроксимацією, інтегрування якої дає F (A) у вигляді функції одних тільки параметрів елемента e.
Підсумовуючи, отримують:
. (3)
Беручи до уваги, що деякі з вузлів 1, 2, ..., M є загальними для декількох елементів і що внесок кожного елемента повинен враховуватися у виразі для функції F щодо величин A 1, A 2,..., AM невідомої функції в цих вузлах, коли об'єднують елементи для всієї області.
Відшукується оптимум F по всій області, маючи на увазі, що приватні похідні F щодо величин A 1, A 2, ..., AM одночасно звертаються в нуль:
(4)
Ця операція призводить до складання системи з M рівнянь з M невідомими, які визначають величини A 1, A 2, ..., AM у вузлах розбиття. Права частина цих рівнянь виходить, виходячи з тієї частини функціоналу, яка містить в собі члени, що характеризують джерела, або на основі значень А, заданих на кордоні області (неоднорідні граничні умови - Діріхле). При використанні МКЕ доводиться обчислювати визначені інтеграли, коли на кожному елементі мережі розбиття визначається елементарна матриця інтегруванням на кожному елементі функціоналу, апроксимуємої за допомогою функцій форми. Якщо ж елементи криволінійних або завдання нелінійна, аналітичне інтегрування стає неможливим і тоді доводиться вдаватися до чисельного інтегрування. Використання МКЕ призводить до обчислення визначених інтегралів на відрізках прямих, дуг кривих або в деяких областях. При інтегруванні по області можна використовувати інтегрування по кожному її елементу, тоді для інтегралів, згаданих вище, необхідно використовувати ефективні і точні методи чисельного інтегрування.
.4 Вибір програмного забезпечення. Опис і аналіз можливостей програмного комплексу ANSYS
Популярність МКЕ сприяла створенню різних комерційних пакетів програм, серед яких можна відзначити наступні часто використовувані: NASTRAN, ASKA, MICROFLUX, GE2D, ANSYS.
Всі пакети, що реалізують метод кінцевих елементів, складаються з інформаційної та обчислювальної частин. Інформаційна частина - база даних (БД) пакета - містить описи використовуваних даним пакетом типів елементів (бібліотеку елементів), бібліотеку матеріалів, довідкову систему. Фізично являє собою набір файлів, розташованих в тому каталозі, куди був встановлений пакет.
Обчислювальна частина пакетів МКЕ являє собою набормодулей (званих зазвичай процесорами), що виконують определенниефункціі і об'єднаних загальною оболонкою (реалізація цієї ідеї разлічнав різних пакетах - модулі можуть являти собою окремі EXE-файли, або входити в єдиний файл в вигляді підпрограм). Серед процессоровобично виділяють препроцесор (preprocessor) - модуль подготовкіісход...
