і фізичних завдань. Область його застосування простирається від аналізу напружень в конструкціях літаків або автомобілів до розрахунку таких складних систем, як атомна електростанція. З його допомогою розглядається рух рідини по трубах, через греблі, в пористих середовищах, досліджується протягом стискання газу, вирішуються завдання електростатики і мастила, аналізуються коливання систем.
Метод скінченних елементів (МСЕ) - чисельний метод рішення диференціальних рівнянь з приватними похідними, а також інтегральних рівнянь, що виникають при вирішенні завдань прикладної фізики. Метод широко використовується для вирішення задач механіки деформівного твердого тіла, теплообміну, гідродинаміки і електродинаміки.
Суть методу випливає з його назви. Область, в якій шукається рішення диференціальних рівнянь, розбивається на кінцеве кількість подобластей (елементів). У кожному з елементів довільно вибирається вид апроксимуючої функції. У найпростішому випадку це поліном першого ступеня. Поза своїм елемента апроксимуюча функція дорівнює нулю. Значення функцій на кордонах елементів (у вузлах) є вирішенням завдання і заздалегідь невідомі. Коефіцієнти апроксимуючих функцій зазвичай шукаються з умови рівності значення сусідніх функцій на кордонах між елементами (у вузлах). Потім ці коефіцієнти виражаються через значення функцій у вузлах елементів. Складається система лінійних алгебраїчних рівнянь. Кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих значень у вузлах, на яких шукається рішення вихідної системи, прямо пропорційно кількості елементів і обмежується тільки можливостями ЕОМ. Так як кожен з елементів пов'язаний з обмеженою кількістю сусідніх, система лінійних алгебраїчних рівнянь має розріджений вигляд, що істотно спрощує її рішення.
З погляду обчислювальної математики, ідея методу кінцевих елементів полягає в тому, що мінімізація функціоналу варіаційної задачі здійснюється на сукупності функцій, кожна з яких визначена на своїй підобласті, для чисельного аналізу системи дозволяє розглядати його як одну з конкретних гілок діакоптікі - загального методу дослідження систем шляхом їх розчленування.
В даний час область застосування методу кінцевих елементів дуже обширна і охоплює всі фізичні завдання, які можуть бути описані диференціальнимирівняннями.
Найбільш важливими перевагами методу скінченних елементів, завдяки яким він широко використовується, є наступні:
Властивості матеріалів суміжних елементів не повинні бути обов'язково однаковими. Це дозволяє застосовувати метод до тіл, складеним з декількох матеріалів;
Криволінійна область може бути апроксимована за допомогою прямолінійних елементів або описана точно за допомогою криволінійних елементів. Таким чином, методом Можна користуватися не тільки для областей з «хорошою» формою кордону;
Розміри елементів можуть бути змінними. Це дозволяє укрупнити або подрібнити мережу розбиття області на елементи, якщо в цьому є необхідність;
За допомогою методу кінцевих елементів не становить труднощів розгляд граничних умов з розривної поверхневої навантаженням, а також змішаних граничних умов;
Зазначені вище переваги методу кінцевих елементів можуть бути використані при складанні досить загальної програми для вирішення приватних завдань певного класу.
Головний недолік методу скінченних елементів полягає до необхідності складання обчислювальних програм і застосування обчислювальної техніки. Обчислення, які требуетсяпроводіть при використанні методу кінцевих елементів, занадто громіздкі для ручного рахунку навіть у разі рішення дуже простих завдань.
Варто відзначити, що метод кінцевих елементів, звичайно, є наближеним чисельним методом, і тим самим має деяку ступінь похибки. Однак, в ньому закладена велика кількість параметром за допомогою яких можна управляти ступенем точності одержуваних результатів (измельченность сітки, параметри навантаження та методів отримання рішення). Окремим питанням є ступінь адекватності розв'язуваної математичної моделі її фізичному прототипу. Все це покладається на плечі інженера-розраховувача, відповідальність за результат несе тільки він. Але слід сказати, що МКЕ дозволяє досліджувати конструкції майже необмеженою ступеня складності. У той час як це об'єктивно неможливо з використанням аналітичних методів.
Основна ідея методу скінченних елементів (МСЕ) полягає в тому, що будь-яка безперервна величина (температура, тиск, переміщення) апроксимується дискретною моделлю, побудова якої виконується на безлічі кусочно-безперервних функцій, визначених на кінцевому числі підобластей. Алгоритм побудови дискретної моделі досліджуваної безперервної величини полягає в наступному:
У...
