зайняті (обслуговуванням попередньої заявки), то частина каналів перемикається на її обслуговування. Якщо під час обслуговування цих двох заявок надходить третя, то частина каналів перемикається на обслуговування третього заявки і т.д. до тих пір, поки кожна заявка, що знаходиться в СМО, чи не виявиться під обслуговуванням тільки одного каналу. При цьому, очевидно, всі канали будуть зайняті, а заявка, що прийшла в цей момент, отримує відмову і покидає СМО необслуженной.
Таким чином, якщо в СМО знаходиться хоча б одна заявка, то все n каналів зайняті. Вивільнені канали негайно приступають до обслуговування знаходяться в СМО заявок.
Взаємодопомога між каналами описаного типу називають рівномірною.
Якщо інтенсивність потоку обслуговування системою функціонально залежить від числа каналів k наступним чином:
де - деяке критичне число каналів системи (див графік функції на рис. 12.1) і, то для сумарно, інтенсивності обслуговуванні, яка дорівнює, байдуже яке прийнято кількісний розподіл каналів по обслуговується заявками, аби в системі присутня хоча б одна заявка , оскільки при будь-якому розподілі всі каналів будуть зайняті.
Припишемо кожному стану системи номер, рівним числу заявок в системі, який, в силу того, що дана система - система з відмовами, збігається з числом заявок, що знаходяться в стані обслуговування.
- в СМО немає заявок, неї n каналів вільні;
- в СМО одна заявка під обслуговуванням усіма каналами;
- в СМО дві заявки під обслуговуванням, всі канали зайняті
...... ..
- в СМО заявок під обслуговуванням, всі канали зайняті;
....
- в СМО n заявок, кожна з яких обслуговується тільки одним каналом, всі канали зайняті.
Рис. 1.5. Граф станів СМО з відмовами і рівномірної взаємодопомогою між каналами.
Таким чином, граф на рис 1.3 являє собою граф станів одноканальної СМО з очікуванням, обмеженням на довжину черги з максимальним числом місць у черзі і з інтенсивністю потоку обслуговувань. Тому характеристики даної системи можна отримати з відповідних характеристик однолінійної СМО з очікуванням і обмеженням на довжину черги, замінюючи в останніх на і на отже, на.
Ймовірності станів отримаємо рівним:
або:
Імовірність відмови:
Рис 1.6. Графік залежності імовірності відмови від інтенсивності вхідного потоку при n=5 і=1,.
Імовірність того, що заявка буде прийнята в систему, рівна в цьому випадку ймовірності того, що заявка буде обслужена, виводимо у вигляді:
Відносна пропускна здатність, яка також збігається з:
Тоді абсолютна пропускна спроможність СМО
.
Вираз для середнього числа заявок і системі, яке дорівнює середньому числу заявок, що знаходяться під обслуговуванням:
Для можна отримати інший вираз. Дли цього введемо дискретну випадкову величину, що представляє собою число заявок в СМО.
Закон розподілу цієї випадкової величини буде імен, наступний вигляд:
Таблиця 2
0 12 ... k ... n ... ...
Середнє число заявок в СМО представлятиме з бой математичне сподівання випадкової величини:
або, застосовуючи (1.36),
Якщо в правій частині рівності (1.44) суму записати у вигляді і, замінивши в ній на і на, а висловити за формулою (1.37) то для отримаємо формулу (1.42).
Оскільки заявка може обслуговуватися відразу декількома каналами, то середня кількість зайнятих каналів не збігається із середнім числом заявок під обслуговуванням
Середнє число зайнятих каналів можна розрахувати як математичне очікування дискретної випадкової величини, що представляє собою число зайнятих каналів і розподіленої, очевидно, по наступному закону:
Таблиця 3
0 n
звідки, застосовуючи (1.36),
Якщо, то застосовуючи в правій частині формули (1.45) формулу суми кінцевого числа членів геометричній прогресії, матимемо:
.
Якщо ж, то з рівності (1.45):
Запишемо формули (1.46) і (1.47) в об'єднаній формі:
З формул (1.46) і (1.47) отримуємо нерівність
що говорить про те, що середнє число заявок, що знаходяться під обслуговуванням, не перевищує середнього числа зайнятих каналів, що є наслідком взаємодопомогу між каналами.
Неважко здогадатися, що з формул (1.41), (1.40) і (1.48) випливає рівність:
.
Середній час перебування заявки в системі або що те ж середній час перебування заявки в змозі обслуговування отримаємо з формули Літтла (5.27):
Гл...
