ні багатоканальних СМО з взаємодопомогою.
Будемо вважати, що інтенсивність найпростішого потоку обслуговуванні є деяка функція числа каналів, одночасно обслуговуючих заявку. Природно припустити, що функція є неубивающей, тобто зі збільшенням числа обслуговуючих каналів інтенсивність не падатимуть.
Як показує практика, необмежене збільшення числа одночасно обслуговуючих каналів не завжди веде до пропорційного збільшення інтенсивності обслуговування, природніше припустити, що починаючи з деякого критичного числа каналів подальше збільшення числа обслуговуючих каналів не підвищує інтенсивності потоку обслуговування.
Найпростішим випадком функції є функція
Тут - інтенсивність потоку обслуговуванні одним каналом, заздалегідь відомий коефіцієнт прямої пропорційної залежності інтенсивності від числа одночасно обслуговуючих каналів при.
Якщо загальне число каналів, то,.
Якщо охарактеризувати стану СМО за кількістю зайнятих каналів, то очевидно, що вона може перебувати тільки в одному з двох станів:
-все каналів вільні;
- все каналів зайняті.
У системі, що знаходиться в стані, заявок немає, а в стані в системі знаходиться одна заявка, яку обслуговує одночасно всіма каналами.
Рис. 1.3
Розмічений граф станів матиме вигляд, зазначений на рис. 1.2.
Для граничних характеристик СМО з взаємодопомогою будемо застосовувати ті ж позначення, що і в попередніх параграфах, додаючи в нижньому індексі знак + raquo ;.
Так як дана система працює як одноканальна з відмовами, то граничні характеристики її функціонування можна отримати з вже виведених у розділі 3 формул, замінюючи в них на.
З формул (1.17) і (1.18) отримаємо граничні ймовірності станів:
Імовірність того, що надійшла заявка буде прийнята до обслуговування або отримає відмову, будуть рівні відповідно:
і
Рис 1.4. Графік залежності імовірності відмови від інтенсивності вхідного потоку при n=5 і=1.
Відносну пропускну спроможність отримаємо з формули (3.25):
і
Середнє число зайнятих каналів отримаємо як математичне сподівання дискретної випадкової величини - числа зайнятих каналів з законом розподілу:
Таблиця 1
0
У даному випадку середня кількість зайнятих каналів відрізняється від середнього числа заявок, що знаходяться під обслуговуванням, яке можна визначити як математичне очікування дискретної випадкової величини - числа заявок під обслуговуванням, приймаючої значення 0 з імовірністю і значення 1 з імовірністю.
Таким чином, використовуючи (1.20), матимемо
.
Оскільки розглянута СМО - система з відмовами, то середня кількість заявок в системі збігається із середнім числом заявок під обслуговуванням:
.
Середній час обслуговування заявки, що відноситься тільки до обслужених заявками,
.
Для обчислення середнього часу обслуговування заявки, що відноситься до всіх заявками, як обслужених, так і отримав відмову, розглянемо випадкову величину час обслуговування (любой) заявки і дві несумісні гіпотези і, що складаються в тому, що СМО перебуває відповідно в станах і Ймовірності цих гіпотез очевидно рівні і Якщо заявка надійшла в СМО при гіпотезі, тобто коли СМО перебувала в стані, в якому всі канали вільні, то вона негайно починає обслуговуватися усіма каналами і середній час її обслуговування дорівнюватиме. Таким чином, умовне математичне сподівання випадкової величини при гіпотезі дорівнюватиме. Якщо ж заявка надійшла в систему при гіпотезі, тобто коли СМО перебувала в стані, в якому всі каналів зайняті, то вона отримує відмову і тому умовне математичне сподівання випадкової величини при гіпотезі дорівнюватиме
.
Застосовуючи формулу повного математичного очікування і використовуючи (1.20), (1.24) і (1.26),, отримаємо для формулу Літтла:
.
Знову ж таки в силу того, що дана СМО є системою з відмовами, середній час перебування заявки в системі. збігається із середнім часом знаходження заявки під обслуговуванням. Тому з формул (1.25) і (1.27) отримуємо формулу Літтла для:
.
При з формул відповідно отримуємо:
1.3 Багатолінійні СМО з відмовами і «рівномірної» взаємодопомогою між каналами
Розглянемо n -Канальний СМО, на вхід якої подасться найпростіший потік заявок з інтенсивністю. Потік обслуговуванні одним каналом також найпростіший з інтенсивністю.
Якщо заявка надходить в СМО, коли всі n каналів вільні, то все n каналів приступають до се обслуговуванню. Якщо наступна заявка приходить в момент, коли всі n каналів ...
