ign="justify"> Re ( )
Аналогічно на функцію-j Г— sgn (?) множиться і уявна функція j Г— Im (X (???, при цьому сигнатурними функція інвертується (-j Г— j = 1), що змінює знак лівої частини функції Im (X (??? - області негативних частот, і перетворює її в реальну парну частину Re ( (?)) спектру (?) (ріс.1.2.5).
Частотну характеристику Hb (f) (1.2.5) можна записати і в наступному вигляді:
Hb (f) = | Hb (f) | Г— exp (j? h (f)), де | Hb (f) | = 1
Hb (f) =-j Г— sgn (f) = , (1.2.5 ')
Якщо спектр функції x (t) також представити у формі
X (f) = | X (f) | Г— exp (j? x (f)),
то вираз (1.2.4) перетворюється до наступної форми:
(f) = | X (f) | Г— exp (j j x (f)) Г— exp (j j h (f)) = | X (f) | Г— exp [ j ( j x (f) + j h (f))], (1.2.4'' ')
тобто амплітудний спектр сигналу (t) - як результат перетворення Гільберта сигналу x (t), не змінюється і залишається рівним амплітудному спектру сигналу x (t). Фазовий спектр сигналу (t) (початкові фазові кути всіх гармонійних складових сигналу) зсувається на -90 про при f> 0 і на 90 про при f <0 щодо фазового спектра сигналу x ( t). Але такий фазовий зсув означає не що інше, як перетворення косинусних гармонік у синусні, а синусних в косинусні. Останнє не важко перевірити на одиничному гармоніці.
Якщо x (t) = cos (2f o t), то маємо наступне перетворення Гільберта через частотну область:
(t) = H [x (t)] Г› TF [H [x (t)]] =-j sgn (f) Г— [ < span align = "justify"> d (f + f o ) + d (ff o )]/2. (1.2.6)
(f) =-j Г— [- d (f + f o ) + d (ff o < span align = "justify">)]/2 = j В· [d (f + f o ) - d (ff o )]/2. (1.2.7)
Але останнє рівняння - спектр синусоїди. При зворотному перетворенні Фур'є:
(t) = TF -1 [ (f)] = sin (2f o t). (1.2.8)
При x (t) = sin (2pf ? t) аналогічна операція дає (t) =-cos (2f o t). ...
