Знак мінус демонструє відставання (запізнювання) вихідного сигналу перетворення, як операції згортки, від вхідного сигналу. Для гармонійних сигналів будь-якої частоти з будь початковою фазою це запізнювання становить чверть періоду коливань. На ріс.1.2.3 цей зсув на чверть періоду для одиничної гармонійної складової (несучої частоти радиоимпульса) видно досить наочно. Таким чином, перетворення Гільберта, по суті, являє собою ідеальний фазообертач, який здійснює фазовий зсув на 90 0 всіх частотних складових сигналів про дновременно.
Зсув фази спектрів сигналів x (t) на/2 визначає зміну парності і самих сигналів: парний x (t) Г› непарний (t), і навпаки.
Перетворення Гільберта дозволяє обчислити аналітичний сигнал
z (t) = x (t) + j Г— (t) (1.2.9)
за його дійсної частини, при цьому спектр аналітичного сигналу також є комплексним
( w ) = X ( w) + j Г— ( w ) (1.2.10)
і одностороннім, тобто рівним нулю на негативних частотах:
( w ) = 0 , w <0, (1.2.11)
що забезпечується співвідношенням спектрів:
X ( w ) = - j Г— (f) при w <0. (2.2.12)
В області негативних частот, при w <0, відповідні компоненти спектрів X ( w ) і ( w) гасять один одного: Re (Z ( w )) = 0, Im ( Z ( w )) = 0. Це і забезпечує виконання рівності (2.11).
Для нульової частоти значення Im (X ( w )), Im ( ( w )) і Re ( (f) ) дорівнюють нулю, при цьому:
Re (Z (0)) = Re (X (0)), Im (Z ( w ) ) = 0. (1.2.13)
Спектри каузальних функцій. Припустимо, що каузальна (фізично здійсненна) лінійна система з імпульсним відгуком h (t), t Ві 0, має частотну характеристику H (f):
H (f) = A (f) - j Г— B (f),
де A (f) і B (f) - дійсна (парний) і уявна (непарна) частини частотної характеристики. Здійснимо зворотне перетворення Фур'є для всіх частин цього виразу:
h (t) = a (t) + b (t),
a (t) = A (f) cos (2ft) df, b (t) = B ( f) sin (2ft) df,
де a (t) і b (t) - відповідно парна і непарна частини імпульсного відгуку h (t). Умова каузальності для імпульсного відгуку (h (t) = 0 при t <0) буде виконано, якщо при t <0 функції a (t) і b (t) компенсують один одного. Тоді загальна умова каузальності, з урахуванням непарності функції b (t) і b (0) = 0, запишеться в наступному вигляді:
b (t) =-a ​​(t), t <0, (1.2.14) (t) = 0, a (t) = a (0), t = 0, ( t) = a (t), t> 0.
З цих умов випливає, що непарна функція b (t) у каузальною системі однозначно пов'язана з парною функцією:
b (t) = sgn (t) Г— a (t), (1.2.15)
Здійснюючи перетворення Фур'є обох частин даної рівності при відомому перетворенні сигнатурної функції (sgn (t) Г› j/f) , отримуємо:
Im (H (f)) = (j/f) *
