й же час ліва частина рівняння зменшується від n? до n? - KL, слідуючи відрізку прямої Dn. Щоб С і Dn перетиналися, необхідно і достатньо, щоб ціле число n було досить малим:
.
Якщо KL lt; ?, Власних значень немає; якщо? ? KL? ? +? , То існує одне власне значення? 1; якщо? +? ? KL lt; 2? + ?, Є два власних значення? 1 і? 2 (? 1 lt;? 2) і т. Д. Легко бачити, що власні значення розташовуються в порядку зростаючих n. Вони утворюють дискретну і кінцеву послідовність - від основного свого значення? 1
Рис. 4. Графічне рішення задачі про дискретних власних значеннях:.
Власні значення суть точки перетину кривої (С), заданої рівнянням, і кожній з прямих (Dn): (прийнято y =?/3, KL /?=5). [2] до максимального власного значення, відповідного найбільшому цілому числу, що не перевершує 1 + (KL-?)/?.
Квантове число n має цілком певний математичний сенс. Розгляд рівнянь (22) показує, що функція sin (k2x +?) Звертається в нуль n - 1 раз, коли x пробігає інтервал (a, b). З (30) випливає, що нулі цієї функції збігаються з нулями?. Отже, число вузлів власної функції, відповідної n-ому власному значенню? N, є n - 1.
На закінчення можна провести порівняння з класичною ситуацією, як це було зроблено у випадку безмежно глибокої ями. Тепер крім квантування енергії слід зазначити додаткова відмінність; оскільки хвильова функція зберігає відмінні від нуля значення в областях I і III, існує відмінна від нуля ймовірність знайти частинку і в цих областях, куди доступ класичної частці повністю заборонений.
б) U1 lt; ? lt; U3. Спектр безперервний невироджений. Відображення хвилі. Ми знаходимося в ситуації, аналогічній нагоди а) в задачі про стрибок потенціалу. Кожному значенню? відповідає одне й тільки одне усюди обмежене рішення, саме те, яке експоненціально загасає в області III: в інтервалі (U1, U3) спектр власних значень безперервний і невироджених.
Ми шукаємо рішення у вигляді
(34)
Як і в попередніх завданнях, умови безперервності логарифмічною похідною визначають фази? 1 і? 2. Знаходимо
в той же час безперервність самої функції дозволяє визначити А і В.
Далі ми будемо припускати, що U3 -? gt; gt ;?- U2 звідки k2 lt; lt; ? 3 і, отже, k1 lt; lt; ? 3. Все відбувається так, як якби область III характеризувалася нескінченно відштовхуючим потенціалом, так що В=0. інтереси нас величинами є? 1 і А2.
Домовимося, що а=0, b=-L, і покладемо
Тоді після елементарного розрахунку
При зростанні енергії фаза? 1 більш-менш регулярним чином зростає, в той час як величина А2, измеряющая відносну інтенсивність хвилі в області II, осциллирует між значеннями і 1. Осциляції тим більш значні, ніж більше KL і чим менше?. Тому припустимо надалі, що
,.
У цьому випадку А2 як функція? 2 (т. е. енергії) знаходить серію гострих максимумів ширини 4?/KL, віддалених один від одного на 2?/KL. На рис. 5 показано поведінку А2, а також? 1 в умовах нашого наближення.
Ми стикаємося з явищем типово хвильового характеру, з явищем резонансу.
Для деяких обмежених областей зміни енергії (ширини 4?/KL) інтенсивність хвилі у внутрішній області порядку 1: ці резонансні енергії відповідають умові тобто область II містить n + 1/2 полуволн raquo ;.
Поза цих резонансних областей інтенсивність дуже мала.
Рис. 5. Резонанси віддзеркалень. Зміна A2 і? 1 (див. Рівняння 34)) залежно від енергії. Криві відповідають KL=(b - а)=100. По осі абсцис відкладена змінна
Як і у випадку завдання зі стрибком потенціалу, ми можемо порівняти рух хвильового пакету типу (22) з рухом класичної частинки в тому ж потенціалі.
Приходячи зі +? з постійною швидкістю, класична частинка відчуває різке прискорення при x=0, пробігає область II зі швидкістю, відбивається в точці x=-L, рухається в протилежному напрямку зі швидкістю? 2 в області II, потім зі швидкістю? 1 в області I.
Час, який класична частинка проводить в області II, одно.
Центр хвильового пакету рухається аналогічним чином, принаймні в області дуже великих x, де пакет не занадто сильно деформований, так що поняття його центру зберігає сенс.
Все відбувається так, як якби він здійснив те ж саме рух за винятком того, що час, проведений в області II одно не, а.
Поведінка різних ...
