д, Які НЕ перетінають хорду а (например, Хорді) [16, c.181].
У розумінні Лобачевського звідсі маємо, что через Л-точку D можна провести скільки завгодно Л-прямих, Які перетінають Л-пряму?, и не менше двох Л-прямих, Які НЕ перетінають Л-пряму? =НД Хорді DВ=i DC=Які проходять через точки В і С абсолюту, что має належати до Л-точок, є граничними среди Л-прямих, Які проходять через Л-точку D и не перетінають Л-пряму? =НД Отже, Л-Прямі відіграють роль паралельних прямій?.
Таким чином, у реализации Бельтрамі - Клейна віконуються всі аксіомі планіметрії Лобачевського. Тому планіметрія Лобачевсько¬го несуперечливості настолько, наскількі несуперечливості планіметрія Евкліда.
Відзначімо, что в реализации Бельтрамі - Клейна одночасно з дове¬денням несуперечлівості геометрії Лобачевського доведено и незалежність п'ятого постулату Евкліда [12, c.460].
3.2Реалізація Пуанкаре
Ідея реализации геометрій, усвідомлення їх реалізацій на множини різніх об'єктів, особливо после Завершення аксіоматічної побудова евклідової геометрії, Набуль широкого розвитку. Напрікінці XIX ст. и на початку XX ст. Було Створено цілий ряд різноманітніх реалізацій аксіомікі як евклідової, так и неевклідової геометрії. [11, c.66].
Декілька реалізацій аксіоматікі планіметрії Лобачевського предложили відомій французький математик и філософ А. Пуанкаре (1854-1912). Розглянемо одну з них, про єктами якої є про єкти евклідової півплощіні.
Рис. 4
Нехай довільна горизонтальні прямі т розбіває площинах Евкліда на две півплощіні. Одну з них назвемо верхнього (над прямою m).
Введемо Означення основних зрозуміти планіметрії Лобачевського. Л-точками назвемо евклідові точки верхньої півплощіні. Точки прямої m має належати до Л-точок (рис. 4).
Л-прямими назвемо евклідові півкола, что лежати біля верхній півплощині и ортогональні до прямої m (тобто мают центр на прямій m), а такоже евклідові півпрямі верхньої півплощіні, перпендікулярні до прямої m. На рис. 3, например, це Л-пряма? и Л-пряма n.
Відношення належності и порядку для Л-точок и Л-прямих Такі ж, як в евклідовому розумінні для точок, півкіл и променів верхньої півплощіні.
Переконаємось, что в даній реализации віконуються аксіомі абсолютної геометрії (за Гільбертом).
Нехай а - півколо у верхній півплощині, точка А Належить півколу а. Тоді будемо Говорити, что Л-точка А лежить на Л-прямій а. При такій домовленості легко перевіріті виконан планіметрічніх аксіом Першої групи - аксіом належності 1.1-1.3.
Справді, Аксіома 1.1 віконується, оскількі через две Різні точки верхньої півплощіні всегда можна провести півколо а, ортогональних з пряму т.Оскількі через две точки верхньої півплощіні можна провести її не более одного півкола, ортогонального прямій/п, то Аксіома 1.2 справедлива. Виконання аксіомі 1.3 віпліває з того, что на евклідовому півколі а верхньої півплощіні існує скільки завгодно точок, як и скільки завгодно точок, Які не лежати на півколі а.
Виконання аксіом порядку 2.1-2.3 віпліває з того, что порядок точок на Л-прямій а збігається з порядком точок на евклідовому півколі а, Пожалуйста зображує «Л-пряму у верхній півплощині (рис. 4).
Перевірка справедлівості аксіомі 2.4 (Паша) проілюстрована на рис. 4: Л-пряма?, Перетінаючі Л-сторону АВ в Л-точці М, перетінає ще одну Л-сторону НД в Л-точці N Л-трикутника ABC и не может мати спільніх точок з Л-стороною НД (доведення цього Факту для евклідового прямолінійного трикутника ABC опускаємо).
Виконання аксіом неперервності віпліває з того, что при введенні в такий способ порядку точок на Л-прямій (як и на евклідовому півколі) на ній віконується принцип неперервності Дедекінда, еквівалентній аксіомам Архімеда и Кантора. [15, c.390].
Дещо складнішім Видається доведення аксіом конгруентності. Дамо Означення Л-відрізків и Л-кутів через об'єкти евклідової площини.
Рис. 5
Рис. 6
Рис. 7
Рис. 8
Л-відрізком АВ назвемо дугу евкдідового півкола з кінцямі АіВ. Л-півпряма з качаном у точці Про зображується дугою ОМ, Кінець М якої лежить на прямій т, точка М не Належить до Л-точок (рис. 6). Л-кутом з вершиною Про будемо назіваті сукупність двох Л-півпряміх, что Виходять з точки О (рис. 7).
Поняття конгруентності відрізків и кутів введемо помощью превращение інверсії відносно Кіл, ортогональних з прямою D, при цьом вважатімемо, что Поняття інверсії та ее Властивості відомі. Інверсія відносно таких Кіл відображає точки верхньої евклідової півплощіні в точки цієї ж півплощіні. [8, c.318].
Означення 6. Л-відрізок АВ Конгруентність Л-відрізку А У если існує така скінченна послідовність інверсій, что їх композиція відображає евклідову кругову дугу АВ на кругову дугу А У .
При такому означенні конгруентності Л-в...
