ня прямої Лобачевського має лінійну форму відносно і:
(6)
Рис. 2
Координати х і у точок прямої (5.3) в декартових координатах змінюються від -? до?. Легко переконатісь, что в бельтрамієвіх координатах и ??змінюються у Цілком питань комерційної торгівлі межах, Які можна взяти від - 1 до +1.
Отже, при переході від декартових координат х, у до бельтрамієвіх и вся площинах Евкліда Відображається на часть площини Евкліда у виде кола, радіус которого можна взяти рівнім одиниці. Цей коло назвати абсолютно кругом, а коло, что его обмежує, - абсолютом площини.
Тоді в Цій реализации Основні поняття площини Лобачевського можна означіті через Поняття евклідової площини. Введемо Позначення: Л-точка (точка площини Лобачевського), Л-пряма (пряма площини Лобачевського), Л-площинах (площинах Лобачевського). Дамо Означення основних зрозуміти геометрії Лобачевського. Л-точками назвемо евклідові точки відкритого абсолютного кола. Точки абсолюту до Л-точок має належати, їх назівають невласнімі точками, а точки, что лежати зовні абсолюту, - ідеальнімі. [5, c.74].
Л-прямими назівають відкриті Хорді абсолюту (без їх кінців); Л-площинах - Відкритий абсолютний коло.
Відношення «належаться», «лежать между» для Л-точок и Л-прямих означаються як відповідні евклідові відношення для точок и хорд, что лежати біля середіні абсолютного кола. Например, Л-точка А Належить Л-прямій НД, если точка А є внутрішньою точкою Хорді НД абсолюту (рис. 3).
Л-фігура Ф Конгруентність Л-фігурі Ф laquo ;, если існує колінеарне Автоморфні відносно абсолюту и абсолютного кола превращение площини, при якому чином Л-фігурі Ф є Л-фігура Ф [19, c.94].
При означенні основних зрозуміти геометрії Лобачевського через Основні поняття геометрії Евкліда легко переконатісь у віконанні всех аксіом геометрії Лобачевського.
Аксіома 1.1 требует, щоб кожні две точки визначавши пряму. Ця Вимога на абсолютному крузі віконується, бо через будь-які две внутрішні точки А і D кола можна провести хорду АD, яка є Л-прямою АD.
Аксіома 1.2 стверджує, что кожні две Різні точки визначаються одну и только одну пряму. У даній реализации ця Аксіома віконується, оскількі через две Різні внутрішні точки (А і D) абсолютного кола можна провести одну и только одну хорду (АD), яка є Єдиною Л-прямою АD, что проходити через Л-точки А і D.
За аксіомою 1.3 на Кожній прямій існує прінаймні две точки и існують три крапки, Які н е лежати на одній прямій. У евклідовому розумінні на відкрітій хорді абсолюту лежить скільки завгодно внутренних точок абсолютного кола и існують три крапки Всередині абсолютного кола, Які не лежати на одній прямій.
У розумінні зрозуміти геометрії Лобачевського це означає, что на Кожній Л-прямій існують прінаймні две латочку и існують трьох Л-точки, Які має належати одній Л-прямій.
Оскількі відношення «лежать между» для точок прямої таке ж, як и для точок Хорді абсолютного кола, а це відношення має такий самий Зміст и в розумінні Лобачевського, то вимоги аксіом порядку віконуються в даній реализации для Л-точок и Л-прямих. [14, c.136].
У розшіреній евклідовій площіні всегда можна вібрато таку Автоморфні колінеацію, что абсолют (коло) переходити в абсолют, внутрішні точки даного кола (абсолютного кола) переходять у внутрішні точки цього ж кола.
Аксіому 3.1 конгруентності, например, у даній реализации можна сформулюваті так:
Если А, В - две внутрішні точки абсолютного кола на хорді? и А - Внутрішня точка абсолютного кола на тій самій або на іншій хорді? Raquo ;, то на хорді? Laquo; з даного боці від точки А" існує и только один така точка В raquo ;, что відрізок А У є чином відрізка АВ у колінеарному перетворенні, Автоморфні відносно абсолюту та абсолютного кола.
вібрать таке колінеарне превращение, что чином точки В Хорді? буде точка В Хорді? по завдань БІК від точки та врахувавші Означення конгруентності в даній реализации, переконуємося, что Аксіома 3.1 віконується.
Аналогічно переконуємося, что Інші аксіомі конгруентності такоже віконуються на абсолютному крузі для Л-точок, Л-відрізків та Л-кутів.
Для перевіркі аксіом неперервності в реализации Бельтрамі - Клейна розглядається принцип Дедекінда, еквівалентній аксіомам Архімеда и Кантора відносно аксіом Першів трьох груп. Справедлівість принципом Дедекінда у даній реализации віпліває з того, что ВІН для евклідового відкритого відрізка (Хорді абсолюту) справджується.
Отже, у реализации Бельтрамі - Клейна справджується абсолютна геометрія. Залішається перевіріті, чі віконується Аксіома паралельності Лобачевського. [9, c.200].
Візьмемо на абсолютному крузі довільну хорду НД и не належности Їй довільну точку D (рис. 1.94). У розумінні евклідовіх зрозуміти через точку D можна провести безліч хорд, Які перетінають хорду НД =? (например, хорда АD), и безліч хор...
