ідрізків Аксіома 3.1 справджується. Дійсно, нехай дані дві півкола а і b Із центрами на?? рямій m, на півколі а дана дуга АВ, а на півколі b дана точка С (рис. 8) .Віберемо інверсію з центром на прямій т так, щоб півколо? відобразілось на півколо b. При цьом точки А і В півкола? перейдуть у деякі точки А и B на півколі b. Тоді за властівостямі інверсії існує інверсія з центром на прямій т, яка відображає півколо b самє в собі так, что або точка А переходити у точку С, або точка В переходити у точку С. У Першому випадка точка В Перейшовши в Деяк точку півкола b, а в іншому випадка точка А перейдіть в Деяк точку D півкола b. Точки D 'і D розміщені по Різні боки від точки С.
Відповідно до зазначеного конгруентності Л-відрізків маємо
i
Звідсі віпліває справедливість аксіомі 3.1 в даній реализации. Аналогічно доводитися виконан аксіом 3.2, 3.3, 3.5 [7, c.175].
Означення7.Л-куті (h; k) і (h laquo ;; k ) назіваються Конгруентність, если існує така послідовність інверсій з центрами на прямій т, что їх композиція дуги півкіл, Які зображують Сторони Л-кута (h; k) відображає на дуги півкіл, что зображують Сторони Л-кута (h laquo ;; k )
Перевірімо виконан аксіомі 3.4.
Нехай дано Л-куті (h; k) з вершиною А і Л-промінь h з качаном (рис. 9). За властівостямі інверсії з центром на прямій т існує послідовність інверсій, у результате якіх Л-пряма а перейшовши в Л-пряму? Raquo; так, что точка А перейшовши в точку а Л-промінь h - у Л-промінь k laquo ;. При цьом Л-пряма b перейдіть в якусь Л-пряму b что проходити через точку А laquo ;, и Л-промінь k перейдіть в Л-промінь k Л-прямої b laquo ;. За зазначену конгруентності кутів Л-кут (h; k) буде Конгруентність Л-куту (h raquo ;; k ') [2, c.400].
Рис. 9
Рис. 10
Если взяти за коло інверсії коло а, то Л-промінь k відобразіться в Л-промінь k laquo ;, розміщеній по другий БІК від Л-променя h. Тоді за окреслений 7 Л-кут (h; k) буде Конгруентність Л-куту (h '; k ).
Далі можна відобразіті Л-промінь h в k и навпакі.Отже, Л-кут (h; k) Конгруентність Л-куту (k; h) Повторюючі ще раз Цю ж послідовність інверсій, переконаємось, что Л-кут (h ; k) Конгруентність сам собі.Такім чином, усі вимоги аксіомі 3.4віконуються в даній реализации, а вместе с нею и всі аксіомі конгруентності, и всі аксіомі абсолютної геометрії. Залішається з'ясувати, яка ж Аксіома паралельності справджується в даній реалізації.Ріс. 10
Візьмемо у верхній евклідовій півплощині з межею т півколо о з центром на прямій m и точку А, что НЕ Належить півколу? .Зрозуміло, что через точку А можна провести безліч півкіл з центрами на прямій m, Які перетінають півколо? и Які НЕ перетінають его [14, c.130]. ??
Серед множини таких півкіл буде дві півкола b і с, Які дотікаються півкола? в точках М и N на прямій m (рис. 10).
Оскількі точки М и N пропустити належати до Л-точок, то півкола biс належати множіні Л-прямих, Які НЕ перетінають Л-прямої?.
Отже, у пучку Л-прямих, что проходять через латочку А, існує Нескінченна множини Л-прямих, Які НЕ перетінають Л-прямої а, и Нескінченна множини Л-прямих, Які перетінають Л-пряму?.
Звідсі віпліває, что в реализации Пуанкаре на евклідовій площіні справджується Аксіома паралельності Лобачевського. Роль граничних Л-прямих, тобто паралельних за Лобачевського Л-прямій а, відіграють евклідові півкола b і с, Які в пучку Л-прямих, что проходять через точку А, відділяють одну від Іншої множини Л-прямих, что перетінають Л-пряму? І що НЕ перетінають ее.
Отже, предложено А. Пуанкаре реалізація аксіом геометрії в образах планіметрії Евкліда є моделлю планіметрії Лобачевського. Тому планіметрія Лобачевського несуперечливості настолько, наскількі несуперчлівою є планіметрія Евкліда.
Звідсі такоже віпліває, что Аксіома паралельності Евкліда (п'ятий постулат) i Аксіома паралельності Лобачевського НЕ є наслідкамі аксіом абсолютної геометрії, смороду незалежні від аксіом абсолютної геометрії.
Примітка. Відома такоже реалізація Пуанкаре аксіом планіметрії Лобачевського на евклідовому крузі - абсолютному крузі. Ця інтерпретація аналогічна інтерпретації Бельтрамі - Клейна, но роль Л-прямих відіграють дуги евклідовіх Кіл, ортогональних з абсолютом. [14, c.133].
ВИСНОВКИ
У даній курсовій работе Було Розглянуто питання про систему дослідження аксіом геометрії. У работе були сформульовані основні аксіомі, а такоже показані приклада їх графічного зображення.
Було проведено дослідження системи аксіом Пуанкаре и Г. Вейля, покладених в основу евклідової геометрії, и аксіоматікі геометрії М.І. Лобачевського.
Ідея реализации геометрій, усвідомлення їх реалізацій на множини різніх об'єктів, особливо после Завершення аксіоматічної побудова ев...
