отне перетворення Фур'є, або прообраз функції. Рівність (12.3) при заданій функції можна розглядати, як інтегральне рівняння щодо функції, рішення якого дається формулою (12.1). І, навпаки, рішення інтегрального рівняння (12.1) щодо функції при заданій дає формула (12.3).
У формулі (12.3) вираз задає, умовно кажучи, пакет комплексних гармонік з частотами, безперервно розподіленими на проміжку і сумарної комплексної амплітудою. Функція називається спектральної щільністю. Формулу (12.2), записану у вигляді
,
можна трактувати, як розкладання функції в суму пакетів гармонік, частоти яких утворюють суцільний спектр, розподілений на проміжку. p> Рівності Парсеваля. Нехай і - Фур'є-образи дійсних функцій і відповідно. Тоді
; (12.4)
, (12.5)
тобто скалярні твори і норми функцій є інваріантами перетворення Фур'є. Доведемо це твердження. за визначенням скалярного твору маємо. Замінивши функцію її виразом (12.3) через Фур'є-образ, отримаємо
.
У силу (12.1) br/>
. br clear=all>
Тому, тобто формула (12.4) доведена. Формула (12.5) виходить з (12.4) при. p> Косинус-і синус-перетворення Фур'є. Якщо речова функція парна, то її Фур'є-образ, який тут будемо позначати, також є речовій парною функцією. Дійсно,
В
.
Останній інтеграл, внаслідок непарності подинтегральной функції, звертається в нуль. Таким чином,
. (12.6)
Тут використано властивість (7.1) парних функцій.
З (12.6) випливає, що функція речовинна і парних чином залежить від w, так як w входить до (12.6) тільки через косинус. p> Формула (12.3) зворотного перетворення Фур'є в цьому випадку дає
В
=.
Так як і - відповідно парна і непарна функції змінної w, то
. (12.7)
Формули (12.6) і (12.7) визначають косинус-перетворення Фур'є. p> Аналогічно, якщо речова функція непарна, то її перетворення Фур'є, де - речова непарна функція від w. При цьому
; (12.8)
. (12.9)
Рівності (12.8), (12.9) задають синус-перетворення Фур'є. p> Зауважимо, що у формули (12.6) і (12.8) входять значення функції тільки для. Тому косинус-і синус-перетворення Фур'є можна застосовувати і до функції, визначеної на напівнескінченної проміжку. У цьому випадку при інтеграли у формулах (12.7) і (12.9) сходяться до заданої функції, а при до її парному і непарному продовжень відповідно.
Покажемо, як за допомогою перетворення Фур'є обчислюються деякі невласні В«неберущімсяВ» інтеграли.
Приклад 1. Обчислити інтеграл Лапласа. p> Рішення. Знайдемо Фур'є-образ функції де:
В В
.
За допомогою формули зворотного перетворення Фур'є
В
отримаємо
В
або
.
Тут перша доданок представляє собою подвоєний інтеграл Лапласа, а друге дорівнює нулю внаслідок непарності подинтегральной функції. Тому
. b>
Приклад 2. Обчислити розривної множник Дирихле, якщо.
Рішення. Застосувавши косинус-перетворення Фур'є до парної функції
В
отримаємо
;
.
Таким чином,
В
Зокрема інтеграл Діріхле
.
Приклад 3. Обчислити інтеграл Ейлера. p> Рішення. Спочатку обчислимо інтеграл, застосувавши до функції, де, перетворення Фур'є і ввівши заміну
В
=;
В
.
Звідси, і, отже, із заміною можна записати
.
Вправа 1. Використовуючи рівність Парсеваля, обчислити інтеграли
;.
Вправа 2. Довести, що
,
використовуючи рівність Парсеваля.
В§ 13. Основні відомості з теорії перетворення Фур'є
Той факт, що функція є Фур'є-образом функції, будемо позначати надалі одним із таких способів:.
Властивості перетворення Фур'є:
1. Теорема лінійності. , де. Це властивість відразу випливає з визначення (12.1) і лінійності операції інтегрування.
2. Теорема подібності. , де. Позначивши, одержимо
В
3. Теорема зміщення. , де. Ввівши заміну, отримаємо
В
.
Слідство . p>, (13.1)
де. Дійсно,
В
.
4. Теорема про згортку. Нагадаємо, що сверткой абсолютно інтегровних функцій і називається функція
.
Фур'є-образ згортки функцій f і g дорівнює добутку їх Фур'є-образів, по...
