множеному на:.
Так як по визначенню
В
,
то, виконавши у внутрішньому інтегралі заміну, отримаємо
=
==,
що і потрібно було довести.
5. Теорема про образ похідної. Нехай функція і її похідна абсолютно інтегровними на проміжку. За формулою Ньютона - Лейбніца
.
Так як похідна інтегровна на всій осі, інтеграл у правій частині останнього рівності має кінцевий межа прі. Отже, існує кінцевий межа. При цьому, бо в іншому випадку функція була б неінтегріруемих на проміжку. Точно також доводиться, що.
Введемо в розгляд Фур'є-образ похідної
.
Виконавши інтегрування по частинах, отримаємо
.
Так як внеінтегральний член дорівнює нулю, то
.
Таким чином, операції диференціювання функції відповідає операція множення її Фур'є-образу на множник. Аналогічно, якщо функція має абсолютно інтегруються похідні до n- го порядку включно, то
В
,.
В
Наслідки . 1. Звичайне лінійне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами перетворенням Фур'є переводиться в лінійне алгебраїчне рівняння. p> 2. Лінійне рівняння в приватних похідних з постійними коефіцієнтами і з двома незалежними змінними перетворенням Фур'є по одній із змінних переводиться в звичайне лінійне диференціальне рівняння.
Приклад 1. Довести, що
, (13.2)
де. p> Рішення. Покладемо
В
Тоді
В В
Таким чином,
,
і по теоремі про згортку
В
.
Приклад 2. Знайти рішення рівняння
(13.3)
при, задовольнить початковому умові
. (13.4)
Зауваження . Рівняння (13.3) називається рівнянням теплопровідності. Рівняннями такого виду описуються одномірні процеси дифузії, перенесення тепла тощо p> Рішення. Застосуємо до рівняння (13.3) перетворення Фур'є. Для цього, помноживши обидві частини рівняння на, проинтегрируем його по х від до. Тоді
В
або
, (13.5)
де - Фур'є-образ функції.
Тут використовувалася формула для Фур'є-образу похідної другого порядку:
.
Рівність (13.5) - це звичайне лінійне диференціальне рівняння першого порядку щодо функції змінної t , де w - параметр. p> Переходячи до Фур'є-образів в рівності (13.4), отримаємо початкова умова для рівняння (13.5):
. (13.6)
Рішенням задачі Коші (13.5), (13.6) є функція
.
За допомогою (12.3) знаходимо - прообраз функції:
. (13.7)
Останній інтеграл у (13.7) дорівнює. Тому
.
По теоремі про згортку
,
або
. (13.8)
Рішення рівняння теплопровідності, записане у вигляді (13.8), називається інтегралом Пуассона. p> Приклад 3. Знайти рішення хвильового рівняння
, (13.9)
задовольняє початковим умовам
. (13.10)
Зауваження. Завдання Коші (13.9), (13.10) є математичною моделлю одновимірних хвильових процесів у суцільних безмежних середовищах. Поле збурень у середовищі, виведеної з рівноважного стану, описується функцією, фізичний зміст якої визначається специфікою розглянутої задачі. У задачі про малі поперечні коливання струни - це відхилення струни від її рівноважного положення, функції j ( х ) і задають відповідно форму струни і розподіл швидкостей її точок в початковий момент часу. Константа , Де і r - натяг і щільність струни в положенні рівноваги. У завданнях акустики - швидкість обуреного руху в точці в момент часу; - швидкість звуку в незбуреної середовищі і т.д. p> Рішення. Перетворюючи за Фур'є рівняння (13.9) і початкові умови (13.10), отримаємо задачу Коші для звичайного диференціального рівняння другого порядку:
В
де w - параметр.
Рішення задачі має вигляд
В
Використовуючи (13.1) і (13.2), отримаємо формулу Ейлера - Даламбера
(13.11)
Для з'ясування фізичного змісту отриманого рішення перетворимо формулу (13.11). Покладемо
.
Тоді
. (13.12)
При обурення зберігає постійне значення, якщо змінні і пов'язані залежністю:. Іншими словами, обурене стан переноситься в позитивному напрямку осі абсцис зі швидкістю. Тому говорять, що функція визначає біжить хвилю, що переміщається вправо зі швидкістю а . Аналогічно, функція задає хвилю, що поширюється вліво з тією ж швидкістю а . Таким чином, з'ясовано фізич...
