о. За формулою (4) першого розділу, а, тому і зробивши в правій частині всі скорочення, враховуючи, що, отримаємо. p> Покажемо ще, що. Для цього прологарифмируем рівність (8): і результат продифференцируем. В околиці точки s = 1,,, де З - постійна Ейлера, а k - довільна постійна. Отже, спрямовуючи s до одиниці, отримаємо, то є. Знову з формули (4) глави 1 при k = 0, значить, дійсно,. br/>
Глава 3.
Як вже було сказано, дзета-функція Рімана широко застосовується в математичному аналізі. Однак найбільш повно важливість її виявляється в теорії чисел, де вона надає неоціненну допомогу у вивченні розподілу простих чисел в натуральному ряду. На жаль, розповідь про серйозні і нетривіальних застосуваннях дзета-функції Рімана виходить за рамки цієї роботи. Але щоб хоча б трохи уявити міць цієї функції, доведемо за її допомогою кілька цікавих тверджень.
Наприклад, відомо, що простих чисел нескінченно багато. Самое знамените елементарне доказ належить Евкліду. Воно полягає в наступному. Припустимо, що існує кінцеве число простих чисел, позначимо їх p 1 , p 2 , ... , p n . Розглянемо число p 1 p 2 ... p n +1, воно не ділиться ні на одне з простих і не збігається ні з одним з них, тобто є простим числом, відмінним від вищевказаних, що суперечить припущенню. Значить, кількість простих чисел не може бути кінцевим. p> Інше доказ цього факту, що використовує дзета-функцію, було дано Ейлером. Розглянемо дане в першому розділі рівність (5) при s = 1, отримаємо, звідси і зважаючи расходімості гармонійного ряду, маємо при
(1). Якби кількість простих чисел було кінцевим, то й цей твір мало кінцеве значення. Однак, отриманий результат свідчить про зворотному. Доказ завершено. p> Тепер перепишемо (1) у вигляді. Спираючись на теорему про збіжність нескінченного твори, з расходимости попереднього робимо висновок, що ряд розходиться. Це пропозиція дає деяку характеристику росту простих чисел. Підкреслимо, що воно набагато сильніше твердження про гармонійний ряд, так як тут мова йде лише про частину його членів, тим більше що в натуральному ряді є як завгодно довгі проміжки без простих чисел, наприклад:,, ...,.
Незважаючи на свою простоту наведені вище пропозиції важливі в концептуальному плані, так як вони починають низку досліджень все більш і більш глибоких властивостей ряду простих чисел, яка триває донині. Спочатку, основною метою вивчення дзета-функції саме й було дослідження функції, тобто кількості простих чисел не перевищують x . В якості прикладу формули, що зв'язує і, ми зараз отримаємо рівність
(2). p> Спочатку скористаємося розкладанням дзета-функції в твір:. З логарифмічного ряду, враховуючи, що, приходимо до ряду....
