Значить,. p> Тепер обчислимо інтеграл у правій частині (2). Так як при, то. У внутрішньому інтегралі покладемо, тоді й, звідси. У проміжку інтегрування, тому вірно розкладання і. Отримуємо. Тепер. Якщо порівняти отримане значення інтеграла з низкою для, то побачимо, що вони тотожні і рівність (2) доведено.
Використовуємо формулу (2) для доказу однієї дуже серйозною і важливою теореми, а саме отримаємо асимптотичний закон розподілу простих чисел, тобто покажемо, що.
В якості історичної довідки зазначу, що великий німецький математик Карл Фрідріх Гаус емпірично встановив цю закономірність ще в п'ятнадцятирічному віці, коли йому подарували збірник математичних таблиць, містить таблицю простих чисел і таблицю натуральних логарифмів.
Для доказу візьмемо формулу (2) і спробуємо дозволити це рівняння відносно, тобто звернути інтеграл. Зробимо це з допомогою формули звернення Мелліна наступним чином. Нехай. Тоді
(3). Цей інтеграл має потрібну форму, а не вплине на асимптотику. Дійсно, так як, інтеграл для сходиться рівномірно в напівплощині, що легко виявляється порівнянням з інтегралом. Отже, регулярна і обмежена у півплощині. Те ж саме справедливо і відносно, так як. p> Ми могли б вже застосувати формулу Мелліна, але тоді було б вельми важко виконати інтегрування. Тому перш перетворимо рівність (3) наступним чином. Диференціюючи за s , отримуємо. Позначимо ліву частину через і покладемо,, (, і думаємо рівними нулю при). Тоді, інтегруючи частинами, знаходимо при, або. p> Але неперервна і має обмежену варіацію на будь-якому кінцевому інтервалі, а тому що, те () і (). Отже, абсолютно інтегровна на прі. Тому при, або при. Інтеграл у правій частині абсолютно сходиться, так як обмежена при, поза деякій околиці точки. В околиці і можна покласти, де обмежена при, і має логарифмічний порядок при. Далі,. Перший член дорівнює сумі відрахувань в особливих точках, розташованих зліва від прямої, тобто. У другому члені можна покласти, тому що має при лише логарифмічну особливість. Отже,. Останній інтеграл прагне до нуля при. Значить,
(4). p> Щоб перейти назад до, використовуємо таку лему.
Нехай позитивна і не убуває і нехай при. Тоді. p> Дійсно, якщо - дане позитивне число, то (). Звідси отримуємо для будь-кого. Але так як не убуває, то. Отже,. Вважаючи, наприклад,, одержуємо. p> Аналогічно, розглядаючи, одержуємо, значить, що й потрібно було довести.
Застосовуючи лему, з (4) маємо, що,, тому й теорема доведена.
Для ознайомлення з більш глибокими результатами теорії дзета-функції Рімана можу відіслати зацікавленого читача до доданому списком використаної літератури.
Список використаної літератури.
1. Тітчмарш Є.К. Теорія дзета-функції Рімана. Череповець, 2000 р.
2. Фіхтенгольц Г.М. Курс диференціального й інтегрального числ...
