ння на максимум прибутку має єдине рішення х *> 0 , то їй відповідає задача на максимум випуску при заданих витратах С * = wx * , причому остання має таке ж рішення, як і перша (див. рис. 1).
Геометричне місце точок дотику ізокост та ізоквант за різних значеннях витрат С визначає довгостроковий шлях розвитку фірми Х (С), тобто показує, як буде збільшуватися (зменшуватися) випуск, якщо витрати зростуть (зменшаться). Оскільки ця залежність монотонна, то існує зворотна монотонна функція витрат
В
С = С (Х).
Оскільки Х (С) - Максимальний випуск за заданих витрат то витрати С (Х) , що відповідають цього максимальному випуску X , - мінімальні витрати.
Якщо відома функція мінімальних витрат С (Х), оптимальний розмір випуску знову визначається з умови максимуму прибутку
max П (х), П (х) = РХ-С (X). (11)
Прирівнюємо до нуля похідну:
В
тобто в оптимальної точці граничні витрати дорівнюють ціні випуску:
В
(крім того, максимум прибутку досягається при). Розглянемо п співвідношень (7)
В
Ці співвідношення можуть бути дозволені щодо х в околиці оптимальної точки, якщо якобіан | J | 0 , де
В
Це означає, що повинен бути відмінний від нуля гессіан | Н | виробничої функції (але Н негативно визначена, тому дійсно | Н | = 0 ). Тоді
В
х * = х * (Р, w) (12)
або
В
х j * = Х j * (р, w), j = 1, ..., n
Ці п рівнянь задають функції попиту (на ресурси), знайдені за допомогою моделі поведінки фірми. Функції попиту на ресурси можуть бути також знайдені експериментально за допомогою методів математичної статистики за вибірковими даними. Функція пропозиції
В
Х * (р, w) = F [x * (p, w)].
Подібно рівнянням Слуцького, що показує реакцію споживача на зміни цін товарів, аналогічні рівняння описують реакцію виробника на зміни цін випуску і ресурсів.
При заданих цінах р, w поведінка виробника визначається наступними співвідношеннями (Всього (п + 1) співвідношення):
Х * (р, w) = F [x * (p, w)],
.
Завдання
1. Виробнича функція Х = описує залежність між витратами ресурсів х 1 , х 2 , х 3 і випуском Х.
Визначити максимальний випуск, якщо
В
х 1 + х 2 + х 3 = 9.
Які граничні продукти в оптимальній точці?
Рішення.
Згідно умовам (8) для завдання на максимум випуску, повинні виконуватися:
В
max F (x), wx С, х 0.
Складемо функцію Лагранжа:
В
L (x,) = F (x) + (C-wx)...
