ня має задача на максимум випуску при заданому обсязі витрат В
max F (x), (8) wx С, х 0
Це завдання нелінійного програмування з одним лінійним обмеженням і умовою невід'ємності змінних. Згідно теорії (див. Додаток 4) спочатку будуємо функцію Лагранжа
В
L (x,) = F (x) + (C-wx),
потім максимізували її за умови невід'ємності змінних. Для цього необхідно виконання умов Куна-Таккера
(9)
Як бачимо, умови (9) повністю збігаються з (6), якщо
Приклад. Випуск однопродуктовой фірми задається наступною проіводственной функцією Кобба-Дугласа:
В
Х = F (K, L) = 3K 2/3 L 1/3 В
Визначити максимальний випуск, якщо на оренду фондів і оплату праці виділено 150 Д.Є., вартість оренди одиниці фондів w до = 5 Д.Е./Е.Ф., ставка заробітної плати w L = 10 Д.Е./Чол.
міцний гранична норма заміни одного зайнятого фондами в оптимальній точці?
Рішення. Оскільки F (0, L) = F (K, 0) = 0 , то в оптимальному рішенні К *> 0, L *> 0 , тому умови (9) приймають вид
(10)
або в нашому випадку
В
Поділивши перше рівняння на друге, отримуємо
В
Підставивши це співвідношення в умову w K K * + w L L * = 150, знаходимо
В
Рішення можна проілюструвати геометрично. На рис. 1 зображені ізокости (лінії постійних витрат для З = 50, 100, 150) і ізокванти (лінії постійних випусків для Х = 25,2; 37,8).
В
Рисунок 1
Ізокости мають наступні рівняння:
В
5K +10 L = C = const.
Ізокванти мають наступні рівняння:
У оптимальній точці К * = 20, L * = 5 изокванта X * = 37,8 і изокоста, проходять через цю точку, стосуються, оскільки згідно (10) нормалі до цих кривим, задані градієнтами, колінеарні.
Норма заміни праці фондами в оптимальній точці
В
тобто один працюючий може бути замінений двома одиницями фондів.
Вирішуючи завдання фірми (5) на максимум прибутку, знаходимо єдиний оптимальний набір ресурсів х * > 0 (розглядаємо випадок, коли всі ресурси увійдуть в набір). Цього набору відповідає єдине значення витрат С * = wx * . Вирішимо тепер задачу (8) на максимум випуску при заданих витратах С * . Якщо F (x) - неокласична виробнича функція, то в оптимальному рішенні х * > 0, причому це рішення єдино. p> Таким чином, з одного боку,
,
а з іншого боку -. Оскільки П (х * ) = pF (x * )-wx * pF ()-w = П () і wx * = w = С * , то , але, тому. p> Так як рішення задачі на максісмум прибутку (5) єдино, то = х * . Отже, якщо завда...
