кщо більше нуля, то воно є одним з позитивних чисел, тому наше визначення вимагає, щоб число було менше самого себе. Тому вимагатимемо, щоб було найменшим у множині позитивних чисел. На числовій осі таке має зобразитися найлівішій точкою множини. На жаль числа з вказаними властивостями теж немає і бути не може: число буде позитивним числом, меншим.
Більш точне визначення нескінченної малості числа> 0, яке ми будемо використовувати вдальнейшем таке. Будемо складати число із самим собою, отримуючи числа + і т. д. Якщо всі отримані числа виявляться менше 1, то число і називатиметься нескінченно малим. Іншими словами, якщо нескінченно мало, то скільки раз не відкладай відрізок довжини вздовж відрізка довжини 1, до кінця не дійдеш. Наша вимога до нескінченно малому можна переписати в такій формі
1 <
Таким чином, якщо число нескінченно мало, то число нескінченно велике в тому сенсі, що воно більше будь-якого з чисел: 1, 1 +1, 1 +1 +1, 1 +1 +1 +1 і т.д. Зі сказаного можна бачити, що існування нескінченно малих суперечить так званої аксіомі Архімеда, яка стверджує, що для будь-яких двох відрізків А і В можна відкласти менший з них (А) стільки разів, щоб в сумі отримати відрізок, що перевершує по довжині більший відрізок (В).
Висновок такий: якщо ми хочемо розглядати нескінченно малі, ми повинні розширити безліч R дійсних чисел до деякого більшого безлічі * R. Елементи цього нового безлічі ми будемо називати гіпердействітельнимі числами. У ньому аксіома Архімеда НЕ виконується, і існують нескінченно малі числа, такі, що, скільки їх не складай з собою, сума буде весь час залишатися менше 1. Нестандартний, або неархімедов, аналіз вивчає безліч гіпердействітельних чисел * R.
Які вимоги природно пред'являти до гіпердействітельним числах?
1). Щоб безліч гіпердействітельних чисел містило всі звичайні дійсні числа: R * R. p> 2). Щоб над гіпердействітельнимі числами можна було виконувати звичайні операції: будь-які два гіпердействітельние числа потрібно вміти складати, множити, віднімати і ділити, причому так, щоб виконувалися звичайні властивості додавання і множення. Крім того, потрібно вміти порівнювати гіпердействітельние числа за величиною, тобто вирішити яке з них більше.
Нехай є деяка безліч Р, в ньому виділені деякі елементи 0 і 1 і визначені операції додавання, віднімання, множення і ділення, що ставлять у відповідність двом будь-яким елементам і безлічі Р їх суму, твір, різниця і приватне (якщо). Нехай при цьому перераховані операції володіють всіма звичайними властивостями.
;
;
;
;
;
;
;
;
(якщо).
У такому випадку безліч Р називається полем. Нехай на полі Р запроваджено порядок, тобто для будь-якої пар не рівних один одному елементів і визначено, який з них більше. При цьому виконуються такі властивості:
якщо і, то;
якщо, то для будь-якого;
якщо,, то;
якщо...