ена xpe -Bi і
m
f (x) = J (x-ai) ре. p> 1
Всі корені многочлена f (x) мають, таким чином, одну і ту ж кратність ре. p> Ступінь m багаточлена y називається скороченої ступенем многочлена f (x) (або кореня ai); число e називається показником многочлена f (x) (або кореня ai) над полем D. Між ступенем, скороченої ступенем і показником має місце співвідношення
n = m ре,
де m дорівнює числу різних коренів многочлена f (x). p> Якщо q - Корінь нерозкладного в кільці D [x] многочлена, що володіє лише простими корінням, то q називається сепарабельного елементом над D або елементом першого роду над D1). При цьому нерозкладний багаточлен, все коріння якого сепарабельного, називається сепарабельного. В іншому випадку алгебраїчний елемент q і нерозкладний багаточлен f (x) називаються несепарабельнимі або елементом (відповідно, многочленом) другого роду. Нарешті, алгебраїчне розширення S, всі елементи якого сепарабельного над D, називається сепарабельного над D, а будь-яке інше алгебраїчне розширення називається несепарабельним. p> У випадку характеристики нуль відповідно до сказаного вище кожен нерозкладний многочлен (а тому і кожне алгебраїчне розширення) є сепарабельного. Пізніше ми побачимо, що більшість найбільш важливих і цікавих розширень полів сепарабельного і що існують цілі класи полів, взагалі не мають несепарабельних розширень (так звані В«досконалі поляВ»). З цієї причини надалі все пов'язане спеціально з несепарабельнимі розширеннями набрано дрібним шрифтом. p> Розглянемо тепер алгебраїчне розширення S = D (q). Коли ступінь n рівняння f (x) = 0, визначального це розширення, дорівнює ступеня (S: D), редукувати ступінь m виявляється рівною кількістю изоморфизмов поля S в наступному сенсі: розглянемо лише такі ізоморфізми S @ S ', при яких елементи подполя D залишаються нерухомими і, отже, S переводиться в еквівалентне поле S ' (Ізоморфізми поля S над полем D) і при яких поле-образ S 'лежить разом з полем S всередині деякого загального для них поля W. У цих умовах має місце теорема:
При відповідному виборі поля W розширення S = D (q) має рівно m изоморфизмов над D і при будь-якому виборі поля W поле S НЕ може мати більш m таких изоморфизмов.
Доказ. Кожен ізоморфізм над D повинен переводити елемент q в зв'язаний з ним елемент q ' з W. Виберемо W так, щоб f (x) розкладався над W на лінійні множники; тоді виявиться, що елемент q має рівно m сполучених елементів q, q ', ... При цьому, як би не вибиралося полі W, елемент q НЕ матиме в ньому більш m сполучених. Зауважимо тепер, що кожен ізоморфізм D (q) @ D (q ') над D повністю визначається завданням відповідності q В® q '. Дійсно, якщо q переходить в q ' і всі елементи з D залишаються на місці, то елемент
3akqk (ak0D)
повинен переходити в
3akqNk
а цим визначається ізоморфізм. p> У Зокрема, якщо q - Сепарабельного елемент, то m = N і, отже, число изоморфиз...
