мов над основним полем одно ступеня розширення. p> Якщо є якесь фіксоване поле, що містить всі розглянуті поля, в якому містяться всі корені кожного рівняння f (x) = 0 (як, наприклад, у полі комплексних чисел), то в якості W можна раз і назавжди взяти це поле і тому відкинути додавання В«всередині деякого W В» у всіх пропозиціях про ізоморфизмах. Так завжди поступають в теорії числових полів. Пізніше ми побачимо, що і для абстрактних полів можна побудувати таке полі W. p> Узагальненням наведеної вище теореми служить наступне твердження:
Якщо розширення S виходить з D послідовним приєднанням m
алгебраїчних елементів a1, ..., Am, причому кожне з ai, - є коренем
нерозкладного над D (a1, ..., Ai-1) рівняння редукованою ступеня n'i, то
m
розширення S має рівно Г•ni Вў изоморфизмов над D і ні в одному
1
розширенні немає більшого числа таких изоморфизмов поля S. p> Доказ. Для m = 1 теорема вже була доведена вище. Припустимо її справедливою для розширення S1 = D (a1, ..., Am-1): у деякому підходящому розширенні
m-1
W1 є рівно Г• ni Вў изоморфизмов поля S над D. p> 1 m-1
Нехай S1 В® S1-один з цих Г• ni Вў изоморфизмов. Стверджується, що в відповідним чином вибраному полі W він може бути продовжений до ізоморфізму S = S1 (am) @ S = S (am) не більше ніж n Вў m способами. p> Елемент am задовольняє деякого рівняння f1 (x) = 0 над S1 з n Вў m різними корінням. За допомогою ізоморфізму S1 В® S1многочлен f1 (x) перекладається в деякий многочлен f1 (x). Але тоді f1 (x) у відповідному розширенні має знову-таки n Вў m різних коренів і не більше. Нехай am- один з цих коренів. У силу вибору елемента am ізоморфізм S1 @ S1 триває до ізоморфізму S (am) @ S (am) з am В® am одним і тільки одним способом: дійсно, це продовження задається формулою
ГҐckamk В® ГҐ ckamk
Так як вибір елемента am може бути здійснений n'm способами, існує n'm продовжень такого сорти для обраного ізоморфізму ГҐ1 В® ГҐ1
Так як у свою чергу цей ізоморфізм може бути обраний
m-1
Г• n'i способами, p> 1
то всього існує (у тому полі W, в якому містяться всі корені всіх розглянутих рівнянь)
m-1 m
Г• n'i Г— n'm = Г• n'i
1 січня
изоморфизмов розширення S над полем D, що й потрібно було довести. p> Якщо ni - повна (Нередуцірованних) ступінь елемента ai над D (A1, ..., ai-1), то ni одно ступеня розширення D (a1, ..., ai) поля D (a1, ... , Ai-1);
отже, ступінь (S : D) дорівнює
m
Г• n'i. p> 1
Якщо порівняти їх кількість із кількістю изоморфизмов
m
Г• n'i. p> 1
то вийде наступне пропозиція:
Число изоморфизмов розширення S = D (a1, ..., am) над D (у потрібному розширенні W) одно ступеня (S : D) тоді і тільки тоді, коли кожен елемент ai сепарабелен над полем D (a1, ... , Ai-1). Якщо ж хоча б один елемент ai несепараб...
