тників
В
Цей метод схожий на попередній. Відмінність в тому, що висота прямокутників обчислюється по правій межі (Мал. 5). p align="justify"> Висновки формул для даного методу аналогічні попередньому. Основні відмінності полягають в нумерації. Формула методу правих прямокутників виглядає наступним чином:
. (1.25)
Міркування і кінцеві формули, пов'язані з визначенням похибки методу і вибором ширини підстави прямокутників аналогічні тому, що отримано в попередньому методі.
Метод середніх прямокутників
Щоб зменшити похибку методів лівих і правих прямокутників був запропонований метод середніх, тобто метод в якому висота прямокутника обчислюється в середині відрізка h (Мал. 6). Звертаючись до малюнка легко побачити, що площі прямокутників обчислюються за такими формулами [3, C. 158]:
(1.26)
В
Оцінимо похибка формули (1.26) на відрізку [xi, xi + h]. Перш за все, отримаємо розкладання за формулою Тейлора для даного методу. Центр розкладання в даному випадку буде крапка. Тоді отримаємо:
(1.27)
У формулі (1.27) відкинемо члени, що містять 3-ю і вище похідні. Отримаємо:
Ii-IСр.i = RСр.i
В В В В В В В В В В
, тобто
. (1.28)
Аналогічно тому, як були отримані формули (1.18), (1.19), (1.20), (1.21), (1.22) можна отримати формули, за якими оцінюються n і h, для даного методу. Запишемо остаточні формули для безперервної f (x). br/>
(1.29)
(1.30)
Для кусково-неперервної f (x) отримуємо мажорантние оцінки:
(1.31)
(1.32)
Порівнюючи формули (1.17) і (1.28) похибок методів приходимо до висновку, що похибка методу середніх у багато разів нижче похибки методу лівих чи правих прямокутників, тобто метод середніх у багато разів точніше.
Метод трапецій
Метод трапецій заснований на тому, що криволінійна трапеція наближається прямолінійною (Мал. 7). Тобто площі обчислюються за такою формулою:
В
В
Метод Сімпсона
В
Цей метод заснований на тому, що функція f (x) наближається на відрізку [x i -h, x i + h] параболою (причому x i < span align = "justify"> відстоїть від x i +1 на відстані 2h) (Рис.8). Тобто через задані точки проводиться парабола. Але відомо, що рівняння параболи має вигляд ? (x) = ax 2 + bx + c, тобто щоб визначити коефіцієнти a, b, c необхідно вирішити систему з трьох рівнян...
