о площу можна легко вирахувати. Потім підсумовують всі отримані площі, отримуючи тим самим наближене значення інтеграла. p> Метод лівих прямокутників
На рис. 4 проілюстрований, так званий, метод лівих прямокутників. Його назва пояснюється тим, що висота прямокутника f (x) обчислюється в лівій межі відрізка h. Виведемо формулу для наближеного обчислення інтеграла I.
В
Як видно з малюнка площа першого зліва прямокутника S 0 = f (x 0 ) h. Площа наступного S 1 = f (x 1 < span align = "justify">) h. Легко помітити, що площа i-го прямокутника S i = f (x i ) h. Усього таких прямокутників n, нумерація їх ведеться від 0 до n-1. Таким чином, наближене значення інтеграла, отримане цим методом, обчислюється за формулою:
. (1.14)
Оцінимо похибка формули (1.14) на відрізку [xi, xi + h]. Для цього розкладемо функцію f (x) за формулою Тейлора, вибираючи xi за центр розкладання і припускаючи наявність у функції потрібних по ходу міркувань безперервних похідних. br/>
f (x) = f (xi) + (x-xi) f (xi) + ... (1.15)
У формулі (1.15) для визначеності відкинемо члени, що містять похідні вищих порядків, тобто 2-у і вище. Тоді отримаємо:
В В
, тобто
(1.16)
Щоб отримати загальну похибка методу на відрізку [a, b] підсумуємо всі RЛi:
(1.17)
Оскільки в (1.15) були відкинуті члени, що містять більш високі ступені довжини інтервалу, то вираз залишкового члена (1.17) є асимптотичним, тобто Виконується при h? 0 з точністю до членів вищого порядку малості. Але для справедливості цієї оцінки необхідно існування безперервної f (x); якщо f (x) кусково-неперервна, то вдається зробити лише мажорантную оцінку
(1.18)
Цю формулу можна записати інакше
, (1.19)
де n - кількість відрізків, на які розбитий відрізок [a, b].
Перед початком обчислень за цим методом необхідно визначитися з h або, що, по суті, те ж саме, з n. Нехай відомі кордону відрізка [a, b], задана подинтегральная функція f (x) і точність?, З якою повинен бути обчислений інтеграл. Щоб визначити h і n скористаємося простим і очевидним нерівністю:
| rл |??, (1.20)
звідки отримуємо для безперервної f (x):
В
(1.21)
або якщо врахувати, що отримаємо
. (1.22)
Для кусково-неперервної f (x) з урахуванням (1.20) і (1.21) справедливо наступне
В
(1.23)
В
(1.24)
Метод правих прямоку...
