ь, а для цього необхідно знати координати як мінімум трьох точок, через які проходить парабола ? (x). У зв'язку з цим, на відміну від попередніх методів, для обчислення площі окремої криволінійної трапеції знадобитися не дві, а три крапки.
Загальна формула Сімпсона:
В В
Для спрощення цієї формули врахуємо, що
,,,
де a і b - межі відрізка інтегрування [a, b]. З урахуванням цього отримаємо:
В В
,
де n - кількість відрізків завдовжки 2h. Тобто кількість відрізків h, на які розбитий відрізок [a, b] має бути обов'язково парним. Довжина відрізка [a, b] дорівнює 2nh. p> Метод Сімпсона є найбільш точним з усіх описаних методів чисельного інтегрування.
1.2.5 Інші завдання, які вирішуються чисельними методами
Область застосування чисельних методів у математиці величезна. Вони застосовуються і при вирішенні різних рівнянь, і при обчисленні визначених інтегралів, та в наближенні функції. p align="justify"> Розглянемо різні способи розв'язання рівнянь.
Метод половинного ділення (дихотомія)
Нехай ми знайшли такі точки a і b що f (a) f (b) ВЈ 0, т. е. на відрізку [a, b] лежить не менше одного кореня рівняння. Знайдемо середину відрізка x c = (a + b)/2 і обчислимо f (x c ). З двох половин відрізка виберемо ту, для якої f (x c ) f (a або b) ВЈ 0, тобто відрізок на якому функція змінює знак. Потім новий відрізок знову ділимо навпіл і виберемо ту половину, на кінцях якої функція має різні знаки, і т. д. (рис. 9).
В
Якщо потрібно знайти корінь з точністю e , то продовжуємо поділ навпіл доти, поки довжина відрізка чи не стане менше 2 e . Тоді середина останнього відрізка дасть значення кореня з необхідною точністю. Дихотомія проста і дуже надійна: до простого кореня вона сходиться для будь-яких безперервних функцій f (x), у тому числі недіфференціруемих; при цьому вона стійка до помилок округлення. Швидкість збіжності невелика: за одну ітерацію точність збільшується приблизно вдвічі, тобто уточнення трьох цифр вимагає 10 ітерацій (тому що довжина відрізка, на якому лежить корінь, після 10 ітерацій дорівнює 1/2 10 = 1/1024 В» 10 -3
