ві). p> Оскільки матриця A є симетричною, то оператор A буде самосопряженним. Матрицю лінійного оператора A можна привести до діагонального вигляду (5) за допомогою вибору відповідного ортонормированного базису B Вў = {,,}. p> Якщо зберегти колишнє початок координат, то цей базис визначивши в просторі нову систему координат (x Вў, y Вў, z Вў), щодо якої матриця квадратичної форми буде мати такий же діагональний вигляд, а, значить, сама квадратична форма буде мати діагональний вигляд
k () = l1x Вў 2 + l2 y Вў 2 + l3z Вў 2 (13)
У завданнях на приведення квадратичної форми до канонічного виду обов'язково потрібно виписати формули переходу від старих координат (x, y, z) до нових координатах (x Вў, y Вў, z Вў):
X Вў = C-1X, (14)
або формули переходу від нових координат до старих:
X = CX Вў, (14 Вў)
де C - матриця переходу, а X і X Вў - координатні стовпчики:
X =, X Вў =.
Нагадаємо, якщо перехід від одного афінного базису B = {,,} до іншого аффинную базису B Вў = {,,} здійснюється за формулами
В
то матриця C складається таким чином:
C =, (16)
Тоді в розгорнутому вигляді формули (14 Вў) мають вигляд:
x = c11x Вў + c21y Вў + c31z Вў,
y = c12x Вў + c22y Вў + c32z Вў, (14 Вў)
z = c13x Вў + c23y Вў + c33z Вў.
Припустимо, що стара і нова системи координат є декартовими. Тоді, як уже зазначалося, матриця C переходу від старої системи координат до нової буде ортогональної, тобто CТ = C-1. Тому формули (14) приймають вид X Вў = CТX і складаються особливо просто:
x Вў = c11x + c12y + c13z,
y Вў = c21x + c22y + c23z,
z Вў = c31x + c32y + c33z.
Для вирішення завдань, пов'язаних з приведенням рівняння поверхні другого порядку до канонічного виду, нам знадобляться саме формули (14 Вў), виражають старі координати через нові.
Приклад 3. У просторі V3 квадратична форма k () визначається щодо декартової системи координат (x, y, z) формулою
k () = 3y2 + 4xy - 2xz - 4yz.
За допомогою вибору нової системи координат (x Вў, y Вў, z Вў) привести k () до діагонального вигляду.
Рішення. Складемо матрицю квадратичної форми k () щодо системи координат (x, y, z). Маємо 3 = a22, 4 = 2a12, -2 = 2a13, - 4 = 2a23, а тому x2 і y2 відсутні, то a11 = a33 = 0. Отже,
A =.
Ми бачимо, що матриця A збігається з матрицею з прикладу 2, знаходимо власні числа і відповідні їм власні вектори
l1 = -1,,
l2 = -1,,
l3 = 5,,
Тоді, якщо вибрати нову систему координат (x Вў, y Вў, z Вў) з тим же початком, але обумовлену базисом B Вў = {,,}, то квадратична форма () прийме діагональний вигляд
() =-x Вў 2 - y Вў 2 + 5z Вў 2.
Нові координати виражаються через старі за формулами: ...
