сі. p> Тоді билинейная функція виглядає так:
f (x, y) = aijxiyj = a11x1y1 + a12x1y2 + a13x1y3 + a21x2y1 + a22x2y2 + a23x2y3 + a31x3y1 + a32x3y2 + a33x3y3.
З коефіцієнтів билинейной функції складається матриця, яка називається матрицею цієї билинейной функції в даному базисі. Якщо билинейная функція є симетричною, то
aji = f (ej, ei) = f (ei, ej) = aij, i, j = 1, 2, 3.
Це означає, що матриця симетричної білінійної функції є симетричною матрицею. Симетрична билинейная функція в тривимірному просторі виглядає так:
f (x, y) = a11x1y1 + a22x2y2 + a33x3y3 + a12 (x1y2 + x2y1) + a13 (x1y3 + x3y1) + a23 (x2y3 + x3y2). (10)
У двовимірному просторі:
f (x, y) = a11x1y1 + a22x2y2 + a12 (x1y2 + x2y1).
Визначення. Нехай f (x, y) - симетрична билинейная функція. Тоді функція одного векторного аргументу k: L В® R, k (x) = f (x, x) називається квадратичною формою. При цьому, билинейная функція f (x, y) називається полярною до квадратичної формі k (x). Матрицею квадратичної форми називається матриця полярної їй симетричною билинейной функції. Для того, щоб дізнатися, як виглядає квадратична форма в L3, треба в (10) підставити y = x:
k (x) = a11x12 + a22x22 + a33x32 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2x3. (11)
Якщо квадратична форма задана в V3, де введені декартові координати (x, y, z), то
k () = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz. (12)
Звернемо особливу увагу на те, що при складанні матриці квадратичної форми коефіцієнти при xy, xz, yz слід ділити навпіл і кожне з отриманих чисел записується в матрицю двічі. Наприклад, коефіцієнт a12 записується також і на місце з номерами 21:
=.
. Приведення квадратичної форми до діагонального вигляду
Визначення. Нехай в евклідовому просторі V3 задана декартова система координат (x, y, z), k () - квадратична форма, що має вигляд (12), A - її матриця. p> Якщо в просторі ввести іншу систему координат, то тим же точкам будуть відповідати інші координати, а значення функції в цих точках має залишитися колишнім. Тому вираз (12) повинне мати інший вигляд. Нехай C - матриця переходу до нової системи координат (x Вў, y Вў, z Вў), а A Вў - матриця квадратичної форми k () щодо нової системи. Тоді матриці A і A Вў пов'язані між собою формулою
A Вў = CТAC. (11)
Якщо нові координати теж є декартовими, то C - ортогональна матриця, тобто CТ = C-1; в цьому випадку A Вў = C-1AC. p> Саме за цим законом змінюється матриця лінійного оператора при переході до нового базису. Тому ми можемо зіставити квадратичної формі (10) оператор, A: V3 В® V3 визначається матрицею A щодо системи координат (x, y, z). p> Тоді в будь декартовій системі координат квадратична форма k () і поставлений їй у відповідність оператор матимуть однакові матриці (тому закони перетворення матриць однако...
