x Вў = x + z, Вў = x - y - z, Вў = x + y - z,
Старі координати виражаються через нові за формулами:
x = x Вў + y Вў + z Вў, = - y Вў + z Вў, (17) = x Вў - y Вў - z Вў,
5. Приведення рівнянь кривої і поверхні другого порядку до канонічного вигляду
Визначення. Загальне рівняння поверхні другого порядку має вигляд
a11x2 + a22y2 + a33z2 +2 a12xy +2 a13xz +2 a23yz +2 a1x + 2a2y +2 a3z + с = 0 (18)
Вираз, записане в першому рядку, називається квадратичною частиною рівняння, вираз 2a1x + 2a2y + 2a3z називається лінійною частиною рівняння, а з називається вільним членом.
Квадратична частина рівняння (18) являє собою квадратичну форму. Позначимо її k (). p> Знайдемо нову систему координат (x Вў, y Вў, z Вў), щодо якої квадратична форма k () має діагональний вигляд (13). Для того щоб дізнатися, який при цьому вигляд прийме лінійна частина рівняння, необхідно знайти формули виду (14 Вў), виражають старі координати x, y, z через нові x Вў, y Вў, z Вў, і підставити їх в лінійну частину. Зверніть увагу на те, що підстановку потрібно робити тільки в лінійну частину рівняння; який вид прийме квадратична частина при такій підстановці ми можемо написати відразу - це вид (13). У результаті ми отримаємо вираз виду
l1x Вў 2 + l2 y Вў 2 + l3z Вў 2 + 2b1x Вў + 2b2y Вў + 2b3z Вў + з Вў = 0.
Тепер застосуємо перетворення, яке називається методом виділення повних квадратів або методом Лагранжа. Припустимо, що жодна з величин l1, l2, l3, b1, b2, b3 не дорівнює нулю. Тоді останнє рівняння можна переписати таким чином:
l1 - + l2 - + l3 - + з Вў = 0.
Якщо і В«згорнутиВ» повні квадрати, і позначити
= з Вў ---,
то отримаємо рівняння
l12 + l22 + l32 + d = 0.
Зробимо тепер заміну координат:
ВІ = x Вў + b1/l1, ВІ = y Вў + b2/l2, ВІ = z Вў + b3/l3. br/>
Ця заміна еквівалентна перенесенню початку координат (паралельного переносу координатних осей) в точку O Вў (-b1/l1, -b2/l2, -b3/l3) Ox Вў y Вў z Вў. Підкреслимо, що координати точки O Вў вказані щодо системи Ox Вў y Вў z Вў. Тепер наше рівняння приймає вигляд
l1 (x ВІ) 2 + l2 (y ВІ) 2 + l3 (z ВІ) 2 + d = 0. (19)
Проведені нами перетворення справедливі і в тому випадку, коли яка-небудь з величин b1, b2, b3 дорівнює нулю; наприклад, при b1 = 0 отримаємо x ВІ = x Вў. Якщо l1 = 0, то позбутися в рівнянні від доданка 2b1x Вў нам не вдасться. Тоді ми поки залишаємо координату x Вў без зміни. Аналогічно при l2 = 0 залишаємо поки без зміни координату y Вў, при l3 = 0 - координату z Вў. p> Припустимо тепер, що тільки одне з чисел l1, l2, l3 одно нулю. Тоді ми можемо вважати, що саме l3 = 0 (якщо це не так, ми поміняємо порядок позначення змінних). Після виділення повних квадратів одержимо рівняння виду
l1 (x ВІ) 2 + l2 (y ВІ) 2 + 2b3z Вў + d...
