ормули
, (5)
де q (з'являлось вважається рівним нулю).
Формула (5) узагальнює (4) на випадок, коли у касира було в запасі q полтиника.
2. Ще одне співвідношення між числами виходить таким чином. Задамо число l, 1? l? т, і розіб'ємо безліч всіх сприятливих перестановок на класи, віднісши до s-му класу всі перестановки, що містять серед перших l елементів рівно s букв В«рВ». Тоді число букв В«пВ» серед перших l елементів одно l - s. Так як літер В«пВ» повинно бути не менше, ніж букв "р", то s задовольняє нерівностям 0? 2s? l. Знайдемо число перестановок в s-му класі. Кожна така перестановка розпадається на дві частини: одна складається з перших l букв, а інша - з останніх k + т - l букв. У першу частину входить l - s букв В«пВ» і s букв В«рВ». При цьому так як вся перестановка сприятлива, то і її частина, що складається з перших l букв, теж сприятлива. А з l - s букв В«пВ» і s букв "р" можна скласти, таких перестановок. p> Після того як пройде перша частина перестановки, в касі буде l - 2s полтиника. Друга частина перестановки складається з k - l + s букв В«пВ» і т - s букв В«рВ». Число перестановок, при яких ця частина черги проходить без затримки, обчислюється за формулою (2) п. 2, в якій треба замінити q на l - 2s, т на т - s і k на k - l + s. З цієї формули випливає, що друга частина перестановки може бути обрана
способами. За правилом твори отримуємо, що число перестановок в s-му класі одно
В
Оскільки загальне число сприятливих перестановок з k букв В«пВ» і т букв "р" одно то отримуємо тотожність
(6)
Тут через [l/2] позначена ціла частина числа; вважається рівним нулю при р < 0. br/>
3. Блукання по нескінченній площині
Вивчимо блукання на площині у всіх чотирьох напрямках.
Уявімо собі, що з точки Про (рис. 4) виходить 4n людей, які діляться вже на 4 рівні групи, що йдуть від точки О в усі 4 сторони. На кожному перехресті (точці з цілочисельними координатами) дійшли до нього люди знову діляться на 4 групи і т. д. Ми хочемо підрахувати розподіл людей через п проміжків часу після виходу з точки О. Для цього достатньо підрахувати число шляхів, що складаються з п одиничних відрізків і провідних з точки О в точку А (р; q) (за одиницю довжини ми приймаємо відстань між сусідніми перехрестями). Не гаючи спільності, можна вважати, що р ? 0, q ? 0 (для негативних р або q треба брати? P? Або? Q? ).
Щоб задати будь-який шлях з О в А, що складається з п ланок, занумеруем ці ланки по порядку числами ...
