одичною діелектричної проникністю був вперше використаний X. Когельніком для аналізу розсіювання світла на фазових голограмах при малій гармонійної модуляції [21]. Проілюструємо цей підхід для більш загального випадку середовища з довільною періодичною залежністю. При цьому буде використано лише основне припущення Когельніка про малість перетворення хвиль на періоді структури, яке добре виконується в разі близькості частоти падаючої на шар хвилі до частоти бреггівського резонансу.
1.7 Виведення рівнянь зв'язаних хвиль
Суть використовуваного методу полягає в наступному [26]. Рішення рівняння (13) представляється у вигляді суперпозиції двох зустрічно біжать хвиль
(31)
з змінними амплітудами і з хвильовим вектором, відповідним поширенню хвиль в однорідному поглинає середовищі з комплексної діелектричної проникністю, де, а - коефіцієнт поглинання. Підставляючи вираз (31) в рівняння (1), використовуючи розкладання (5) для величини періодичного обурення
і вводячи величину для відбудови від-го бреггівського резонансу, отримаємо одне точне рівняння, в яке входять амплітуди прямої і зворотної хвиль
Якщо, згідно Когельніку, на періоді структури а має місце мале перетворення прямої хвилі у зворотний, то функції та їх похідні, а також сомножители можна вважати постійними на періоді структури а . У цьому випадку, множачи рівняння (31) послідовно на
і на
,
а потім, усереднюючи отримані рівності по періоду структури « а », отримаємо наближену систему пов'язаних рівнянь для амплітуд прямий і зворотної хвилі [26]:
,
При усередненні по періоду в сумах по « т» зверталися в нуль всі доданки за винятком резонансних доданків відповідно з і, а також зверталися в нуль вирази, що містять і їх похідні, помножені на .
Умови сталості на періоді « а» амплітуд і їх похідних, а також співмножників виконується тоді, коли
,,, або
, (33а) де
,,. (33б)
При виведенні останнього нерівності в (33а) було використано умова бреггівського резонансу.
Система рівнянь (33) з постійними коефіцієнтами, що зв'язує амплітуди і, може бути вирішена стандартної експоненційної підстановкою. Однак у найбільш поширеному методі Когельніка зазвичай нехтується другими похідними від в системі (33). Тоді ці рівняння переходять в стандартну систему рівнянь зв'язаних хвиль Когельніка:
,
,
де, - коефіцієнт поглинання, а - відбудова від n -го бреггівського резонансу.
Аналогічну систему наближених рівнянь можна отримати і з інтегрального рівняння (7), якщо в нього підставити рішення (31), розбити області інтегрування по на дві, де має певний знак, а потім прирівняти коефіцієнти перед в лівій і в правій частині рівності (7). Тоді отримаємо точну систему інтегральних рівнянь
, (34)
.
Якщо знову використовувати умови (32а) близькості до п -му бреггівського резонансу і малості зміни амплітуд на періоді, то систему () можна привести до системи (34) рівнянь зв'язаних хвиль. Однак система () точних інтегральних рівнянь зручна тим, що дозволяє за допомогою простого ітераційного методу оцінювати наступні наближення...
