МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
Державна освітня установа вищої професійної освіти
«НАЦІОНАЛЬНИЙ ДОСЛІДНИЙ
ТОМСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ »
Інститут Кібернетики
Кафедра Прикладної математики
Курсова робота
з дисципліни «Диференціальні рівняння»
на тему:
ДОСЛІДЖЕННЯ МЕТОДІВ Рішення систем диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами
Виконав
Студент групи 8Б80 - Шпак Ю.К.
Перевірив - Козловских А.В.
Томськ 2011
Введення
Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь першого порядку з постійною матрицею, записаної у вигляді:
(1)
де коефіцієнти ai, j - постійні речові величини (i, j=1, 2, ... n), а функції yi (t) - невідомі функції змінної t.
Якщо всі функції bi (t)? 0, де (i=1, 2, ... n), то система (1) є однорідною системою лінійних диференціальних рівнянь.
(2)
Запишемо систему (1) в матричній формі, позначаючи матрицю системи за A, а вектор вільних функцій B =, тоді система (1) прийме вигляд:
(3)
Якщо B=0, то запишемо відповідну систему однорідних рівнянь
(4)
1. Поняття рішення
Всяка сукупність n функцій
певних і безупинно диференційовних в інтервалі (a; b), називається рішенням системи (1) в цьому інтервалі, якщо вона звертає всі рівняння системи (1) в тотожності:
справедливі при всіх значеннях x з інтервалу (a, b). Загальне рішення неоднорідної системи являє собою суму загального рішення відповідної однорідної системи і приватного рішення неоднорідної.
2. Постановка завдання
Мета роботи: Дослідження методів розв'язання системи диференціальних рівнянь з постійною матрицею:
Завдання:
Дана матриця А системи (1) і вектор початкових умов В
У точці t0=0
1. Знайти власні числа і побудувати фундаментальну систему рішень (ФСР)
2. Побудувати фундаментальну матрицю методом Ейлера
. Знайти наближене рішення у вигляді матричного ряду
. Побудувати загальне рішення матричним методом. Дослідити залежність жорданову форми матриці А від її власних чисел
. Вирішити завдання Коші
. Знайти координати особливих точок і визначити їх тип
. Проінтегрував чисельністю не лінійну систему в MATLAB, побудувати фазовий портрет
Нелінійна система:
dx / dt=x2 - y
dy / dt=cos (x)
3. Знаходження власних чисел і побудова ФСР
матриця Ейлер коші matlab
За...
