м 2.2 і слідства 2.2.
Для отримуємо
Слідство 2.3.
(1);
(2);
(3);
(4)
Теорема 2.5.
(1).
Зокрема,
.
(2) При група містить нормальну підгрупу індексу 2, изоморфную.
Доказ. (1) Ясно, що обидві підгрупи і нормальні в. По теоремі 15.4. Але якщо, то-скалярна матриця з одиничним визначником, тобто. Так як і - непарне число, то за теоремою Лагранжа в мультиплікативної групі поля Р немає елементів порядку 2. Тому і D-одинична матриця. Таким чином,,
зокрема,
.
Так як, то всі вимоги прямого твори виконуються і. Звідси зокрема, випливає, що.
(2) Нехай і. Ясно, що К-нормальна підгрупа групи. За слідству 15.5. Тому,
,
тобто індекс К в групі дорівнює 2. Крім того, містить підгрупу
яка має індекс 2.
2.2 Класичні групи малих розмірностей
.2.1 Загальне визначення
Курс лінійної алгебри та геометрії постачає нас новими зразками груп, які заслуговують того, щоб зупинитися на них трохи докладніше. Виділення в групах перетворень афінних, евклідових і ермітових просторів підгруп, що залишають на місці фіксовану точку (наприклад, початок координат), призводить до так званих класичним групам GL (n), SL (n), О (n), SO (n), U (n), SU (n). Відзначимо, що їх справжнє місце - серед так званих груп Лі. Варто було б додати принаймні ще симплектична групу Sp (n). При невеликих п говорять про класичних групах малих розмірностей. Бажаючи уникнути великої залежності від геометрії, нагадаємо, що вибір ортонормированного базису в просторі призводить до еквівалентного матричному визначенню ортогональної і унітарної груп:
O (n) =,
SO (n) =,
U (n) =,
U (n) =.
Тут=- матриця, получающаяся з А=Транспонированием і заміною коефіцієнтів комплексно-сполученими числами. Групи SL (n), SO (n), SU (n) носять назву спеціальних (лінійних, ортогональних і унітарних). Зокрема,
O (1)={1}, SO={1},
U (1)={}, SU={1},
SO (2)=U (1).
Ізоморфізм між групами SO (2) і U (l) задається природним відповідністю
Так як геометричним зображенням комплексних чисел,, є коло S1 одиничного радіуса в R2, то говорять ще, що група SO (2) і окружність S1 топологічно еквівалентні. Точний зміст цієї термінології пояснюється в курсі геометрії.
Чудова і набагато менш очевидний зв'язок існує між групами SU (2), SO (3). Зупинимося попередньо на геометричному зображенні групи SU (2), яке приведе нас згодом до геометричного зображенню групи SO (3).
2.2.2 Параметризація груп SU (2), SO (3)
За відомій теоремі Ейлера кожен елемент групи SO (3) власних обертань тривимірного евклідового простору R3 є обертанням навколо деякої нерухомої осі.
, (1)
Відзначають обертання навколо осей Oz і Ox відповідно на кути і. Використовуючи параметризацію обертань кутами Ейлера,, (,,), геометричний зміст яких нас поки не цікавить, будь-яку матрицю АSO (3) можна записати у вигляді
, (2)
де,, - зазначені вище матриці (1).
Нехай, далі,
(2).
Маєм...
