о
,.
Так як gU (2), то і. Таким чином, будь-яка матриця g з SU (2) має вигляд
,. (3)
Назад, якщо g-матриця виду (3), то, очевидно, gSU (2). Значить, кожен елемент групи SU (2) однозначно визначається парою комплексних чисел,, таких, що. Якщо покласти, з,, то умова, переписується у вигляді
,
дає підставу говорити, що група SU (2) топологічно еквівалентна (гомеоморфна) сфері в чотиривимірному матеріальному просторі.
Звернемо увагу на унітарні матриці
,. (4)
Як доводиться в курсі лінійної алгебри, для унітарної матриці g виду (3) існує унітарна матриця u така, що
(5)
с, визначаємо з квадратного рівняння
.
Відзначимо також, що будь-який матриці (3) при можна надати вигляду
, (6)
де,,.
Досить покласти
,,,,
використовуючи ту обставину, що кожне комплексне число z задається двома речовими параметрами і arg z (Arg z-головне значення аргументу arg z).
2.2.3 епіморфізм SU (2) SO (3).
Поставимо у відповідність кожному вектору тривимірного евклідового простору з нормою комплексну матрицю другого порядку
. (7)
Простір матриця виду (7) складається з усіх ермітових матриць з нульовим слідом (,), причому відповідність між векторами і матрицями є, очевидно, взаємно однозначними. Зокрема, базисних векторах відповідають базисні матриці:
,,; (8)
,.
Зауважимо, що кожну лінійному оператору на з матрицею А в базисі (8) відповідатиме цілком певний лінійний оператор на з тією ж матрицею А в базисі, оскільки,. Так як ніякі інші базиси надалі не використовуються, то ми будемо іноді ототожнювати оператори і відповідні їм матриці.
Нехай тепер g - фіксований елемент групи SU (2)
Розглянемо відображення
. (9)
Так як сліди подібних матриць збігаються, то. Крім того,, тому
і, отже,:
,
де. З визначальних рівностей (7) і (9) видно, що
.
Стало бути, відображення (відповідно) - лінійний оператор на (відповідно).
Покажемо, що - ортогональний оператор. Справді,
,
т. е. зберігає норму, а отже, і скалярний твір. Поки не ясно, чи міняє орієнтацію простору, що залежить від знака. Ми знаємо лише, що.
Як випливає з визначення,
причому - одинична ортогональна матриця порядку 3 для
SU (2).
Значить, відповідність (або) є гомоморфізмом SU (2) в О (3). Ядро складається з унітарних матриць g, для яких. Іншими словами,
,
де - базис (8) простору. Пряма перевірка показує, що
,,.
Побудуємо тепер на образи унітарних матриць (4) при гомоморфізм. Проведемо обчислення для в базисі (8):
,
,
.
Значить обертання тривимірного евклідового простору на кут навколо осі (або). Якщо і u вибрати таким, щоб виконувалося співвідношення (5), то, оскільки - гомоморфізм, матимемо
і.
Це показує, що насправді - гомоморфізм SU (2) в SO (3).
Аналогічним чином перевіряється, що-обертання на кут...
