дку елементів. Тому число всіляких рядків над полем одно. Підрахуємо тепер число всіляких невироджених-матриць над полем. Відомо, що матриця є невиродженою тоді і тільки тоді, коли ніякий рядок цієї матриці не є лінійною комбінацією інших рядків. Перший рядок невиродженої матриці може бути будь-який, крім нульовий. Тому для першого рядка існує можливостей. Другий рядок може бути будь-який, непропорційною першому рядку. Коефіцієнтів пропорційності стільки, скільки елементів у полі, тобто . Тому для другого рядка існує-можливостей. Третій рядок невиродженої матриці не повинна бути лінійною комбінацією перших двох рядків. Очевидно, що число рядків, які є лінійною комбінацією двох рядків, так само Тому для третього рядка існує можливостей. І т.д. Нарешті, остання-я рядок не повинна бути лінійною комбінацією перших (п - 1) рядків. Тому для останнього рядка існує можливостей. Таким чином, число невироджених матриць дорівнює
.
Це число одно порядку групи.
(2) Так як і,
То
. (3)
У верхній унітреугольной матриці вище головної діагоналі місць. Тому
.
Теорема 2.3. Група є силовської-підгрупою групи і групи.
Доказ. Нехай, де - просто число і. Так як
і
,
причому
не ділиться, то-сіловская - підгрупа групи.
Так як і
,
то сіловская-Підгрупа групи.
Звернемо увагу, що в наступній теоремі поле довільне.
Теорема 2.4. (1) центр групи складається з скалярних матриць.
(2) центр групи складається з скалярних матриць з одиничним визначником.
Доказ. (1) Через позначимо при одиничну матрицю, а при - матрицю, яка виходить з одиничною додаванням одиниці на перетині-го рядка і-го стовпця. Так як=1, то. Нехай-довільна матриця, перестановочне з кожною матрицею. Так як
,
а
,
то з рівності отримуємо, що
Звідси випливає, що
,
а. Таким чином, при i, j=1, ..., n отримуємо, що B-скалярна матриця. Таким чином, якщо матриця В перестановочне з кожною матрицею, то В - скалярна матриця.
Якщо - скалярна матриця,, то для будь матриці, тому.
Зворотно, якщо матриця, то вона перестановочне з кожною матрицею з, зокрема, з кожною матрицею. Тому матриця В буде скалярною. Таким чином,
(2) З визначення центру отримуємо, що
.
Назад, якщо, то матриця В перестановочне з усіма матрицями з, зокрема, з кожною матрицею. Тому В - скалярна матриця і. Звідси випливає, що
тому
.
Слідство 2.1.
(1);
(2).
Доказ. (1) Оскільки складається з скалярних матриць, то число таких матриць дорівнює числу ненульових елементів поля Р, тому це число дорівнює
(2) складається з скалярних матриць, для яких. Так як мультиплікативна група поля Р циклічна, то число рішень рівняння одно найбільшою загальною делителю n і
Факторгруппа називають проектінной повної (загальної) лінійної групою і позначають через. Факторгруппу називають проективної спеціальної лінійної групою і позначають через.
Слідство 2.2.
(1);
(2), де.
Доказ. Обидва твердження випливають з теоре...
