не в?.
Доказ: до функцій:
? (X, t)=-? (X, t)=u1 (х, t) - u2 (х, t)
? (x, t) =?
застосуємо следствіе2, тоді отримаємо те, що потрібно було довести.
Це наслідок доводить стійкість рішення першого крайової задачі для рівняння теплопровідності.
§ 2.Прімери застосування принципу максимуму в завданнях управління процесами
Принцип максимуму є основним математичним прийомом, використовуваним при розрахунку оптимального управління в багатьох важливих завданнях математики, техніки та економіки.
Принцип максимуму застосовується до загальної задачі управління, що має вид
+ F (x1, t1),
x=f (x, u, t), x (t0)=x0, x (t1)=x1, {u (t)}? U. (1)
рівняння параболічний максимум екстремальний
Тут I (...), F (..) і f (...) - задані безперервно диференціюються функції, t0, x0 - фіксовані параметри, t1 або x1 - фіксовані параметри (або з допомогою рівняння T (x, t)= 0 визначається конченая поверхню). Траєкторія управління {u (t)} повинна належати фіксованому безлічі управлінь U, причому u (t) - кусково-неперервна функція часу, значення якої повинні належати деякому фіксованому безлічі W, що є непустою компактним підмножиною простору Er.
Наведемо деякі завдання оптимального управління, які, завдяки їх типовості, часто зустрічаються в багатьох підручниках з теорії оптимальних процесів. Ці завдання ставляться до різних областей людської діяльності: техніці, економіці, екології та ін Але в той же час вони є «навчальними» і служать, в основному, для ілюстрації деяких теоретичних положень. Очевидно, завдання і моделі, що представляють безпосередній практичний інтерес, повинні бути більш докладними, глибокими і складними. Навчальні завдання - це перше наближення до реальних практичним завданням, їх спрощений аналог.
Максимізація дальності польоту апарату в атмосфері. Розглядається літальний апарат, положення якого описується такими параметрами: дальність і висота польоту, величина і кут нахилу до горизонту вектора швидкості. Роль управлінь грають кут атаки і функція, що відповідає можливості змінювати в польоті геометрію крил (тобто їх ефективну площа). Потрібно знайти такі керуючі функції, які доставляють максимум дальності польоту.
Завдання ракетодинаміки в однорідному полі (задача про оптимальний в сенсі витрати палива русі ракети в порожнечі). Розглядається керований ракетний апарат, стан якого задається координатами в тривимірному просторі, вектором швидкості і значенням маси. Управління здійснюється вибором напрямку і абсолютного значення тяги ракети. Потрібно так керувати ракетою, щоб у фіксований момент часу вона досягла заданої точки, маючи певну швидкість і витративши мінімум палива (тобто маючи максимально можливу масу).
Задача про максимальній висоті підйому вертикально злітає в атмосфері ракети-зонда. Стан ракети задаєтьсязначеннями висоти, швидкості і маси. Завдання полягає у виборі тяги, яка максимізувала б висоту підйому при вільній тривалості польоту.
Завдання про оптимізацію мясозаготовок. На фермі є стадо худоби. Щорічно частина стада відправляється на м'ясозаготівля, причому дохід ферми залежить від кількості проданої...
